一维分岔

分岔是参数连续变化时，相图拓扑结构发生的定性改变：不动点可能产生、消失、交换稳定性，吸引域也可能突然改变。

找分岔点的通用方法

对

$$\dot x=f(x,r),$$

先解不动点分支 $f(x,r)=0$。普通双曲不动点满足 $f_x\ne0$，会随参数平滑移动；局部分岔候选点通常满足

$$f(x_c,r_c)=0,\qquad f_x(x_c,r_c)=0.$$

找到候选点后，要继续检查两侧的不动点数目与稳定性。只解联立方程不足以确定类型。

鞍结分岔

标准形

$$\dot x=r-x^2.$$

• $r<0$：无不动点；
• $r=0$：原点是半稳定的重根；
• $r>0$：$x^*=\pm\sqrt r$，正根稳定，负根不稳定。

一稳一不稳两个不动点在临界点碰撞后消失。非退化条件常写为

$$f_r(x_c,r_c)\ne0,\qquad f_{xx}(x_c,r_c)\ne0.$$

试卷中的 $\dot x=r-x-e^{-x}$ 和 $\dot x=r-2x-e^{-x}$ 都用“曲线相切”求临界值，本质就是 $f=f_x=0$。

跨临界分岔

标准形

$$\dot x=rx-x^2=x(r-x).$$

不动点分支是 $x^*=0$ 与 $x^*=r$。两支始终存在，在 $(0,0)$ 相交，并交换稳定性：

• $r<0$：原点稳定，$x=r$ 不稳定；
• $r>0$：原点不稳定，$x=r$ 稳定。

跨临界分岔的核心不是“不动点数改变”，而是稳定性交换。

例如

$$\dot x=x(r-e^{2x})$$

有 $x_1^*=0$ 和 $x_2^*=\frac12\ln r$。二者在 $r=1$ 相交并交换稳定性，正是 2024—2025 卷的题目。

超临界叉式分岔

标准形

$$\dot x=rx-x^3=x(r-x^2).$$

• $r<0$：只有稳定原点；
• $r=0$：原点非双曲；
• $r>0$：原点不稳定，并产生 $x^*=\pm\sqrt r$ 两个稳定点。

它常来自反射对称性 $x\mapsto-x$。系统方程和分岔图关于 $x=0$ 对称，原来的对称状态失稳后，系统从两个对称状态中选一个，称为自发对称破缺。

亚临界叉式分岔

局部标准形

$$\dot x=rx+x^3.$$

• $r<0$：稳定原点之外还有两个不稳定分支 $x=\pm\sqrt{-r}$；
• $r=0$：三支在原点相遇；
• $r>0$：局部只剩不稳定原点。

纯三次标准形在远处发散，实际模型常加稳定高阶项：

$$\dot x=rx+x^3-x^5.$$

这会产生鞍结分岔和滞后区：参数缓慢增大、减小时跳变位置不同。相比超临界叉式，亚临界叉式往往带来幅度突然跃迁，因此物理上更“危险”。

分岔图如何画

1. 横轴画参数 $r$，纵轴画不动点 $x^*$；
2. 根据解析分支定位曲线；
3. 对每个分支计算 $f_x(x^*,r)$；
4. 稳定分支画实线，不稳定分支画虚线；
5. 标出临界参数与分岔类型。

“只画曲线不分实虚”在考试中相当于少做了一半。

用势能理解分岔

定义 $V_x=-f$。以超临界叉式为例：

$$V(x,r)=-\frac r2x^2+\frac14x^4.$$

$r<0$ 时只有一个中心势阱；$r>0$ 时中心变成势垒，两侧产生两个势阱。势能图直接展示稳定性变化。

如何区分四类

问自己三个问题：

1. 临界点前后不动点数量变了吗？
2. 是否有两个分支穿过并交换稳定性？
3. 是否出现关于 $x=0$ 对称的两条分支？

• 一对产生/消失：鞍结；
• 两支穿过换稳定性：跨临界；
• 对称分支向稳定一侧长出：超临界叉式；
• 对称不稳定分支撞向原点：亚临界叉式。

考试要点

• 先解分支，再判每一段稳定性，最后命名。
• $f=f_x=0$ 只能找候选点，不能单独证明分岔类型。
• 叉式分岔通常需要对称性；没有对称性时小扰动会把它拆成鞍结结构。
• 临界点的线性化必然退化，必须用非线性项判断。