直线上的一维流

一维自治系统

\dot x=f(x)

是整门课最简单、也最重要的模型。它没有真正意义上的“绕行”，所以所有长期行为都由不动点与无穷远组织。

相线的完整画法

例如

\dot x=x(1-x)

有 $x^*=0,1$ 。符号表是

区间	$x<0$	$0<x<1$	$x>1$
$x(1-x)$	负	正	负
方向	左	右	左

因此 $0$ 不稳定， $1$ 稳定。

令 $x=x^*+\eta$ ，在不动点附近作 Taylor 展开：

\dot\eta =f(x^*+\eta) =f(x^*)+f'(x^*)\eta+O(\eta^2).

因为 $f(x^*)=0$ ，忽略高阶项：

\dot\eta=f'(x^*)\eta,\qquad \eta(t)=\eta(0)e^{f'(x^*)t}.

于是 $f'<0$ 时扰动指数衰减， $f'>0$ 时指数增长。

若 $f'(x^*)=0$ ，一阶项消失，必须看高阶项或相线。例如

\dot x=x^2

在原点有 $f'(0)=0$ 。但两侧 $f>0$ ：左侧轨道靠近原点，右侧轨道离开，所以原点半稳定。

若 $f$ 在局部连续且满足 Lipschitz 条件，例如 $f'$ 连续，则每个初值局部存在唯一解。若两条不同轨迹在某时刻相交，它们从交点出发就有两个未来，违反唯一性。

一维里这意味着轨道不能穿过不动点。到达不动点后它必须永远停在那里；在光滑系统中，通常只能渐近接近而不能有限时间穿越。

可分离方程可写成

\frac{dx}{f(x)}=dt.

例如 $\dot x=\sin x$ ：

\int\csc x\,dx=t+C \quad\Longrightarrow\quad \ln\left|\tan\frac x2\right|=t+C.

所以

x(t)=2\arctan\left(Ce^t\right)

（还要结合所在相线区间选择连续分支）。显式解告诉我们时间尺度，相线则更快地告诉我们长期去向。

有些光滑向量场的解不能延续到所有正时间。典型例子

\dot x=1+x^2

给出

x(t)=\tan(t+C).

当 $t+C\to\pi/2$ 时， $x(t)\to+\infty$ ，发生有限时间逃逸。存在唯一性定理通常只保证局部解，不自动保证全局有界。

任意一维系统都能写成梯度形式

\dot x=-\frac{dV}{dx},\qquad V(x)=-\int f(x)\,dx.

沿轨道

\dot V=V'(x)\dot x=-[f(x)]^2\le0.

因此轨道像小球沿势能下降：

对 $\dot x=x(1-x)$ ，

V(x)=-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}.

$x=0$ 是局部极大， $x=1$ 是局部极小，与相线结论一致。

非平衡解在不含不动点的区间内严格单调，不可能返回原值；势函数也在严格下降。因此一维自治连续系统没有非平凡周期轨道。