极限环：如何证明存在或不存在

极限环是孤立的周期轨道。孤立二字很重要：线性中心周围的一族闭轨不是极限环，因为任意一条闭轨旁边还有其他闭轨。

稳定性分类

• 稳定极限环：内外邻近轨道都趋近它；
• 不稳定极限环：内外轨道都远离；
• 半稳定极限环：一侧吸引、一侧排斥。

若系统能化为 $\dot r=R(r),\dot\theta=\Omega(r)$，对 $R(r_*)=0$ 的正根看两侧符号即可。

例如

$$\dot r=r(1-r^2),\qquad \dot\theta=1$$

中 $r=1$ 两侧都被推向该圆，因此是稳定极限环。

Bendixson 判据

对

$$\dot x=f(x,y),\qquad \dot y=g(x,y),$$

若在单连通域 $D$ 中

$$\nabla\cdot\boldsymbol f=f_x+g_y$$

不变号且不恒为零，则 $D$ 中没有闭轨。

证明来自 Green 定理：若 $C$ 是闭轨，向量场沿 $C$ 切向，所以穿过边界的通量为零；但区域内散度积分若严格同号，不可能为零。

Dulac 判据

原散度不定号时，乘一个辅助函数 $B(x,y)$：若

$$\frac{\partial(Bf)}{\partial x} +\frac{\partial(Bg)}{\partial y}$$

在单连通域中符号固定，则仍无闭轨。

对种群模型，$B=1/(xy)$ 经常能消掉乘性因子。试卷系统

$$\dot x=x(2-y-x^2),\qquad \dot y=y(x-1)$$

在第一象限取 $B=1/(xy)$，加权散度为 $-2x/y<0$。

答题必须写三件事：

1. 所选区域单连通；
2. $Bf,Bg$ 在区域内足够光滑；
3. 加权散度固定符号且不恒零。

Lyapunov 函数排除闭轨

若存在单值函数 $V(x,y)$，沿任意非平衡轨道 $\dot V<0$，那么周期轨道不可能存在。因为走一周回到同一点时，$V$ 应恢复原值，却又必须严格下降。

构造二次型时常从

$$V=ax^2+2bxy+cy^2$$

开始，调整系数消掉 $\dot V$ 中的交叉项。正定条件是

$$a>0,\qquad ac-b^2>0.$$

梯度系统

若 $\dot{\boldsymbol x}=-\nabla V$，则自动有

$$\dot V=-\|\nabla V\|^2<0$$

（非平衡点处），所以无闭轨。它是 Lyapunov 方法的特殊情形。

Poincaré–Bendixson 定理

二维连续自治系统中，若一条轨道始终留在紧致区域，且其 $\omega$ 极限集中没有不动点，那么极限集是一条周期轨道。

考试常用的操作版本：构造一个环形捕获域 $A$，满足

• 外边界向量指向内部；
• 内边界向量指向环域；
• 环域中没有不动点。

从环域出发的轨道既出不去，也不能收敛到不动点，因此至少存在一条闭轨。

捕获域怎么构造

若能计算

$$\frac{d}{dt}r^2=2x\dot x+2y\dot y,$$

常可在内圆上证明它为正、外圆上为负。于是两圆之间形成捕获环域。

对

$$\dot x=x-y-x(x^2+5y^2), \qquad \dot y=x+y-y(x^2+y^2),$$

将 $x^2+5y^2$ 等项用 $r^2$ 的上下界夹住，就能找到一内一外两个半径，而不必精确求极限环。

定理不能告诉你的事

Poincaré–Bendixson 只保证至少一条周期轨道，不自动给出：

• 唯一性；
• 精确位置；
• 稳定性；
• 周期。

这些需要额外分析，例如 Dulac 排除多条、Poincaré 映射判稳定、数值积分估计形状。

Liénard 系统

二阶方程

$$\ddot x+f(x)\dot x+g(x)=0$$

可改写为平面系统。Liénard 定理在 $f,g$ 满足对称性和单调性条件时能保证唯一稳定极限环。范德波尔振子

$$\ddot x+\mu(x^2-1)\dot x+x=0$$

在小振幅时“负阻尼”补能量、大振幅时“正阻尼”耗能，最终形成自激振荡。

考试要点

• 先判断题目要“存在”还是“不存在”，方法方向完全不同。
• Bendixson/Dulac 要写区域的单连通性。
• 捕获域内若有稳定不动点，轨道可能收敛到它，不能直接推出闭轨。
• 中心周围闭轨成族，不是极限环。