第 10 周作业：排除与证明极限环

#作业

源作业对应教材 6.8.7、7.2.10、7.2.12、7.2.19(c)、7.3.5 与 7.4.1。题型分成两类：

  • 排除闭轨：指数、Lyapunov 函数、Bendixson–Dulac；
  • 证明存在：构造捕获域，再用 Poincaré–Bendixson；或直接核对 Liénard 定理。

题目

完成教材 6.8.7、7.2.10、7.2.12、7.2.19(c)、7.3.5 与 7.4.1：按各题条件选择指数、Lyapunov、Dulac、捕获域或 Liénard 定理，排除或证明极限环。

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6.8.7：用指数与不变曲线排除闭轨

x˙=x(4−y−x2),y˙=y(x−1).\dot x=x(4-y-x^2),\qquad \dot y=y(x-1).

不动点及类型为

不动点类型指数
(0,0)(0,0)鞍点−1-1
(2,0)(2,0)鞍点−1-1
(−2,0)(-2,0)稳定结点+1+1
(1,3)(1,3)稳定焦点+1+1

x=0x=0 与 y=0y=0 都是不变直线，轨迹不能穿过它们。一条闭轨的指数必须为 +1+1，所以它只能尝试包围稳定结点或稳定焦点：

  • 要包围 (−2,0)(-2,0)，闭轨必须跨过不变的 xx 轴，不可能；
  • 鞍点 (2,0)(2,0) 的一支不稳定流形连接到稳定焦点 (1,3)(1,3)。若闭轨包围焦点，这条连接轨必须穿过闭轨，也不可能。

因此系统没有闭轨。这里“指数为 +1+1”只是筛选候选区域，最后还要用不变轴和鞍点分离曲线排除候选。

7.2.10：二次 Lyapunov 函数

x˙=y−x3,y˙=−x−y3.\dot x=y-x^3,\qquad \dot y=-x-y^3.

取最简单的

V=x2+y2.V=x^2+y^2.

则

V˙=2x(y−x3)+2y(−x−y3)=−2x4−2y4.\dot V =2x(y-x^3)+2y(-x-y^3) =-2x^4-2y^4.

除原点外 V˙<0\dot V<0。若存在闭轨，沿一周回到起点后 VV 应恢复原值；但沿轨道它严格下降，矛盾。因此没有闭轨，而且原点是全局渐近稳定的。

7.2.12：为什么要把 yy 提到四次

x˙=−x+2y3−2y4,y˙=−x−y+xy.\dot x=-x+2y^3-2y^4,\qquad \dot y=-x-y+xy.

普通的 x2+y2x^2+y^2 无法消去交叉项。按题目提示取

V=x2+y4.V=x^2+y^4.

计算得

V˙=2x(−x+2y3−2y4)+4y3(−x−y+xy)=−2x2−4y4.\begin{aligned} \dot V &=2x(-x+2y^3-2y^4) +4y^3(-x-y+xy)\\ &=-2x^2-4y^4. \end{aligned}

所有交叉项恰好抵消，故除原点外 V˙<0\dot V<0，系统没有周期解。

这题的技巧不是“猜到神奇答案”，而是观察 x˙\dot x 中有 y3,y4y^3,y^4，选 y4y^4 后会在 V˙\dot V 中产生 4y3y˙4y^3\dot y，正好有机会消掉 xy3,xy4xy^3,xy^4。

7.2.19(c)：爱情模型与 Dulac 准则

模型为

R˙=−R+ASS+kSe−S,S˙=−S+ARR+kRe−R.\dot R=-R+A_SS+kSe^{-S}, \qquad \dot S=-S+A_RR+kRe^{-R}.

取最简单的 Dulac 权函数 B=1B=1。散度为

∂R˙∂R+∂S˙∂S=−1−1=−2<0.\frac{\partial\dot R}{\partial R} +\frac{\partial\dot S}{\partial S} =-1-1=-2<0.

因此在任意单连通区域内都没有周期解。直观上，这个模型的相面积持续收缩，不可能让一整圈轨道首尾无损地闭合。

7.3.5：反向时间中的捕获环带

x˙=−x−y+x(x2+2y2),y˙=x−y+y(x2+2y2).\begin{aligned} \dot x&=-x-y+x(x^2+2y^2),\\ \dot y&=x-y+y(x^2+2y^2). \end{aligned}

令 r2=x2+y2r^2=x^2+y^2。则

ddtr2=2r2(x2+2y2−1).\frac{d}{dt}r^2 =2r^2(x^2+2y^2-1).

又因为

r2≤x2+2y2≤2r2,r^2\le x^2+2y^2\le2r^2,

所以：

  • 在足够小的圆，例如 r2<1/2r^2<1/2，径向速度向内；
  • 在足够大的圆，例如 r2>1r^2>1，径向速度向外。

对正向时间，这两个边界都把轨迹赶出环带；但把时间反向后，箭头全部反转，环带就成为捕获域。并且

θ˙=xy˙−yx˙r2=1,\dot\theta =\frac{x\dot y-y\dot x}{r^2} =1,

所以环带内没有不动点。对反向系统应用 Poincaré–Bendixson 定理，得到至少一条周期轨道。反向时间只改变运动方向，不改变周期轨道这条几何曲线，所以原系统也至少有一个周期解。

7.4.1：Liénard 定理给出唯一稳定极限环

x¨+μ(x2−1)x˙+tanh⁡x=0,μ>0.\ddot x+\mu(x^2-1)\dot x+\tanh x=0, \qquad \mu>0.

写成 Liénard 形式

x¨+f(x)x˙+g(x)=0\ddot x+f(x)\dot x+g(x)=0

时，

f(x)=μ(x2−1),g(x)=tanh⁡x.f(x)=\mu(x^2-1),\qquad g(x)=\tanh x.

逐项核对：

  • gg 是奇函数，且 x>0x>0 时 g(x)>0g(x)>0；
  • ff 是偶函数；
  • 原函数 F(x)=∫0xf(u) du=μ(x3/3−x)F(x)=\int_0^x f(u)\,du=\mu(x^3/3-x) 是奇函数；
  • F(x)F(x) 在 0<x<30<x<\sqrt3 时为负，在 x=3x=\sqrt3 再次过零；
  • x>3x>\sqrt3 后 FF 单调增加且趋于无穷。

因此满足 Liénard 定理，系统恰有一条极限环，并且它是稳定的。

选择判据的顺序

  1. 散度本身定号：先用 Bendixson；
  2. 乘一个简单权函数后定号：用 Dulac；
  3. 能找到单调的 VV：用 Lyapunov；
  4. 想证明存在：构造无不动点的捕获域；
  5. 二阶自激振子满足标准假设：直接核对 Liénard 定理。

不要只写定理名字。考试答案至少要写清“在哪个单连通域”“哪个量定号”“捕获域边界的箭头朝哪边”。

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