第 2 周作业：不动点、相线与种群模型

#作业

源作业包括教材 2.2.1、2.2.3、2.2.5、2.2.6、2.2.10 与 2.3.4。我在下面按原题号重写。

题目

完成教材 2.2.1、2.2.3、2.2.5、2.2.6、2.2.10 与 2.3.4：分析给定一维系统的不动点和相线，按题目要求求解方程或构造向量场，并讨论 Allee 效应模型的参数情形。

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2.2.1：x˙=4x2−16\dot x=4x^2-16

不动点 x∗=±2x^*=\pm2。符号为“正—负—正”，所以 −2-2 稳定、22 不稳定。

分离变量：

∫dx4(x2−4)=t+C\int\frac{dx}{4(x^2-4)}=t+C

给出

ln⁡∣x−2x+2∣=16t+C1,\ln\left|\frac{x-2}{x+2}\right|=16t+C_1,

从而

x(t)=21+Ce16t1−Ce16t.x(t)=2\frac{1+Ce^{16t}}{1-Ce^{16t}}.

不同 CC 对应 (−2,2)(-2,2) 内趋向 −2-2、x>2x>2 有限时间逃逸、x<−2x<-2 向右趋向 −2-2 等不同分支。

2.2.3：x˙=x−x3\dot x=x-x^3

f(x)=x(1−x2)f(x)=x(1-x^2)

给出不动点 −1,0,1-1,0,1。相线方向为

→ −1 ← 0 → 1 ←,\rightarrow\ {-1}\ \leftarrow\ {0}\ \rightarrow\ {1}\ \leftarrow,

所以 ±1\pm1 稳定，00 不稳定。对 x2x^2 令 u=x2u=x^2，有

u˙=2u(1−u),\dot u=2u(1-u),

可得到

x(t)=sgn⁡(x0)11+Ce−2t,x(t)=\operatorname{sgn}(x_0) \sqrt{\frac{1}{1+Ce^{-2t}}},

常数由初值决定。

2.2.5：x˙=1+12cos⁡x\dot x=1+\frac12\cos x

因为

12≤1+12cos⁡x≤32,\frac12\le1+\frac12\cos x\le\frac32,

右端始终为正，没有不动点，所有轨道严格向右。

2.2.6：x˙=1−2cos⁡x\dot x=1-2\cos x

不动点满足 cos⁡x=1/2\cos x=1/2：

x∗=2kπ±π3.x^*=2k\pi\pm\frac\pi3.

f′(x)=2sin⁡xf'(x)=2\sin x，所以 2kπ−π/32k\pi-\pi/3 稳定，2kπ+π/32k\pi+\pi/3 不稳定。用半角代换可积分，源作业写出的解可整理为反正切形式；考试通常只要求相线与稳定性。

2.2.10：构造指定不动点结构

  1. 任意实数都是不动点：x˙=0\dot x=0；
  2. 每个整数都是不动点且无其他不动点：x˙=sin⁡(πx)\dot x=\sin(\pi x)；
  3. 恰有三个不动点且都稳定：不可能。一维连续向量场中相邻双曲不动点稳定性必须交替；两个稳定点之间至少还要有一个不稳定点；
  4. 没有不动点：x˙=ex\dot x=e^x；
  5. 恰有 100 个不动点：
x˙=∏k=1100(x−k).\dot x=\prod_{k=1}^{100}(x-k).

2.3.4：Allee 效应

模型为

N˙N=r−a(N−b)2,\frac{\dot N}{N}=r-a(N-b)^2,

即

N˙=N[r−a(N−b)2],N≥0.\dot N=N[r-a(N-b)^2],\qquad N\ge0.

其中 a,r,b>0a,r,b>0。记

s=ra.s=\sqrt{\frac ra}.

除 N=0N=0 外，还有

N±=b±s.N_\pm=b\pm s.

N+N_+ 总是位于物理域内，而且

f′(N+)=−2aN+s<0,f'(N_+)=-2aN_+s<0,

所以它稳定，可看作承载水平。原点的稳定性由

f′(0)=r−ab2=a(s2−b2)f'(0)=r-ab^2=a(s^2-b^2)

决定，必须比较 bb 与 ss：

  1. b>sb>s：N−=b−s>0N_-=b-s>0，且原点稳定、N−N_- 不稳定、N+N_+ 稳定。N−N_- 是正的灭绝阈值：初值低于它走向 00，高于它走向 N+N_+，这就是强 Allee 效应。

  2. b=sb=s：N−=0N_-=0 与原点合并，原点非双曲。此时

    N˙=aN2(2b−N),\dot N=aN^2(2b-N),

    所以从物理域右侧看，小的正种群会离开 00；这是阈值刚好降到零的临界情形，而 N+=2bN_+=2b 仍稳定。

  3. b<sb<s：N−<0N_-<0，已落到物理域外；原点不稳定，任意正初值都趋向稳定的 N+N_+。在 N≥0N\ge0 上，相线结构与 logistic 模型相同，不再存在正的灭绝阈值。

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