作业 4：域扩张与单扩张计算（11 月 14 日）

#作业

题面由课程教材和我当时的手写提交共同核对。我提交的原文件第一页为空白，实际作答从第二页开始。

5. 有限扩张一定是代数扩张

设 F⊆EF\subseteq E 是 kk 次有限扩张。证明 E/FE/F 是代数扩张。

展开作答

任取 α∈E\alpha\in E，k+1k+1 个元素

1,α,α2,…,αk1,\alpha,\alpha^2,\ldots,\alpha^k

位于 kk 维 FF-线性空间 EE 中，必线性相关。因此存在不全为零的 ai∈Fa_i\in F，使

a0+a1α+⋯+akαk=0.a_0+a_1\alpha+\cdots+a_k\alpha^k=0.

所以 α\alpha 是 FF 上代数元。α\alpha 任意，故整个扩张是代数扩张。

6. 有限扩张由有限多个元素生成

设 F⊆EF\subseteq E 是有限扩张。证明存在 α1,…,αt∈E\alpha_1,\ldots,\alpha_t\in E，使 E=F(α1,…,αt)E=F(\alpha_1,\ldots,\alpha_t)。

展开作答

取 EE 的一组 FF-基 α1,…,αt\alpha_1,\ldots,\alpha_t。由定义，F(α1,…,αt)F(\alpha_1,\ldots,\alpha_t) 包含 FF 和全部基向量，因而包含它们的所有 FF-线性组合，也就是整个 EE。反向包含显然，所以二者相等。

8. 在 Q(u)\mathbb Q(u) 中降次与求逆

  1. 若 u3−u2+u+2=0u^3-u^2+u+2=0，把 (u2+u+1)(u2−u)(u^2+u+1)(u^2-u) 与 (u−1)−1(u-1)^{-1} 写成 au2+bu+cau^2+bu+c；
  2. 若 u3=2u^3=2，把 (u+1)/(u−1)(u+1)/(u-1) 写成 au2+bu+cau^2+bu+c。
展开作答

第一问先乘开并用 u3=u2−u−2u^3=u^2-u-2 降次：

(u2+u+1)(u2−u)=u4−u=−4u−2.(u^2+u+1)(u^2-u)=u^4-u=-4u-2.

又有

(u−1)(u2+1)=u3−u2+u−1=3,(u-1)(u^2+1)=u^3-u^2+u-1=3,

所以

(u−1)−1=13(u2+1).(u-1)^{-1}=\frac13(u^2+1).

第二问中

(u−1)(u2+u+1)=u3−1=1,(u-1)(u^2+u+1)=u^3-1=1,

故 (u−1)−1=u2+u+1(u-1)^{-1}=u^2+u+1，进而

u+1u−1=(u+1)(u2+u+1)=2u2+2u+3.\frac{u+1}{u-1}=(u+1)(u^2+u+1) =2u^2+2u+3.

12. 代数扩张中的子环是子域

设 E/FE/F 是代数扩张，证明 EE 中任何含 FF 的子环 HH 都是子域。

展开作答

只需证明 HH 中每个非零元 ss 的逆仍在 HH。ss 在 FF 上代数，设其最小多项式为

sn+an−1sn−1+⋯+a1s+a0=0.s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1s+a_0=0.

s≠0s\ne0 且最小多项式不可约，所以 a0≠0a_0\ne0。移项并除以 a0sa_0s：

s−1=−a0−1(sn−1+an−1sn−2+⋯+a1).s^{-1}=-a_0^{-1}(s^{n-1}+a_{n-1}s^{n-2}+\cdots+a_1).

右边由 FF 中系数和 ss 的环运算组成，属于 HH。故 HH 对非零元取逆封闭，是域。

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