作业 5：尺规作图与商环（11 月 21 日）

#作业

我当时的提交只保存了手写答案；题面按其中的节号、题号与课程教材逐项恢复。

第 3 节第 1 题：基本尺规作图

已知正数 a,b,ra,b,r 且 a>ba>b，用尺规作出 a+ba+b、a−ba-b、abab、a/ra/r 与 r\sqrt r。

展开作答

线段首尾相接或截去即可作 a±ba\pm b。乘除法用相似三角形：固定单位线段 11，由比例

aba=b1,a/ra=1r\frac{ab}{a}=\frac b1, \qquad \frac{a/r}{a}=\frac1r

作第四比例项。r\sqrt r 用几何平均：在同一直线上取长度 11 与 rr，以总长 1+r1+r 为直径作半圆，从分点作垂线，垂线段 hh 满足 h2=rh^2=r。

第 3 节第 2 题：哪些数可作

判断下列数能否用圆规直尺作出：

  1. 5+264\sqrt[4]{5+2\sqrt6}；
  2. 21+7\dfrac{2}{1+\sqrt7}；
  3. 1−2751-\sqrt[5]{27}。
展开作答

前两项可以，第三项不可以。

5+26=(2+3)25+2\sqrt6=(\sqrt2+\sqrt3)^2，所以第一项可以通过连续开平方得到。第二项只使用有理数、平方根和四则运算，也可作。

令 α=1−275\alpha=1-\sqrt[5]{27}。平移后的多项式可用 Eisenstein 判别证明 α\alpha 在 Q\mathbb Q 上次数为 5。尺规可作数落在一串二次扩张中，其扩张次数必须是 2 的幂；5 不整除任何 2m2^m，所以 α\alpha 不可作。

第 4 节第 2 题：Gaussian 整数的商环

令 Z[i]={a+bi:a,b∈Z}\mathbb Z[i]=\{a+bi:a,b\in\mathbb Z\}。判断 Z[i]/2Z[i]\mathbb Z[i]/2\mathbb Z[i] 中是否有零因子。

展开作答

有。1+i∉2Z[i]1+i\notin2\mathbb Z[i]，所以它的陪集非零；但

(1+i)2=2i∈2Z[i],(1+i)^2=2i\in2\mathbb Z[i],

故 [(1+i)+2Z[i]]2=0[(1+i)+2\mathbb Z[i]]^2=0。这是一个非零幂零元，当然也是零因子。

第 4 节第 3 题：写出四个商环

写出下列商环的元素，并判断指定性质：

  1. Z/2Z\mathbb Z/2\mathbb Z，并与 F2\mathbb F_2 比较；
  2. Z/3Z\mathbb Z/3\mathbb Z 是否为域；
  3. F2[x]/(x2+x+1)\mathbb F_2[x]/(x^2+x+1) 是否有零因子；
  4. F3[x]/(x2+x+2)\mathbb F_3[x]/(x^2+x+2) 是否为域。
展开作答

前两个分别是 {0ˉ,1ˉ}\{\bar0,\bar1\} 与 {0ˉ,1ˉ,2ˉ}\{\bar0,\bar1,\bar2\}；前者与 F2\mathbb F_2 同构，后者是域。

x2+x+1x^2+x+1 在 F2\mathbb F_2 中没有根，x2+x+2x^2+x+2 在 F3\mathbb F_3 中也没有根。二次多项式无根即不可约，因此对应主理想极大，两个商环都是域、都没有非零零因子。它们的元素分别是 a+bxˉa+b\bar x，系数取自相应底域；元素个数为 22=42^2=4 与 32=93^2=9。

第 4 节第 5 题：Z6\mathbb Z_6 与 Z8\mathbb Z_8 的理想

找出 Z6\mathbb Z_6、Z8\mathbb Z_8 的全部理想，指出极大理想，并写出对极大理想取商后的元素和运算。

展开作答

Zn\mathbb Z_n 的理想与 nn 的正因子一一对应。

Id⁡(Z6)={(0),(2),(3),(1)},\operatorname{Id}(\mathbb Z_6)=\{(0),(2),(3),(1)\},

其中 (2)={0,2,4}(2)=\{0,2,4\}、(3)={0,3}(3)=\{0,3\} 都极大，商环分别同构于 Z2\mathbb Z_2、Z3\mathbb Z_3。

Id⁡(Z8)={(0),(2),(4),(1)}.\operatorname{Id}(\mathbb Z_8)=\{(0),(2),(4),(1)\}.

只有 (2)={0,2,4,6}(2)=\{0,2,4,6\} 极大，商环同构于 Z2\mathbb Z_2。商环的加法、乘法表就是相应素数剩余类域的表：把代表元模 2 或模 3 相加、相乘即可。

评论