作业 3：群作用、循环群与商群（10 月 24 日）

也可由共轭类大小反推：三循环共轭类有 2 个元素，故中心化子阶为 $6/2=3$；对换共轭类有 3 个元素，故中心化子阶为 $6/3=2$。

同一循环型的置换共轭，因此

若 $H\le G$，Lagrange 定理给出 $|H|\mid p$，所以 $|H|=1$ 或 $p$。任取 $a\ne e$，$\langle a\rangle$ 不是平凡子群，只能等于 $G$，故 $G$ 循环。

若 $y=g\cdot x$，则

所以 $G_y=gG_xg^{-1}$。因此两个稳定子同构；有限情形下阶也相等。

写 $G=\langle a\rangle$、$n=mq$。元素 $a^k$ 是解，当且仅当 $n\mid km$，也就是 $q\mid k$。模 $n$ 的指数中正好有

这 $m$ 个解。

若 $G=\langle a\rangle$，则任意像中元素都形如 $\varphi(a^k)=\varphi(a)^k$，故

$a$ 的阶就是 $|\langle a\rangle|$，第一问由定义立即得到。素数阶情形见前面的第 17 题。

对 $|G|=2p$ 的非交换群，非单位元的阶只能是 $2,p,2p$。若有 $2p$ 阶元，则 $G$ 循环，矛盾；若所有非单位元都为 2 阶，则 $(ab)^{-1}=ab=b^{-1}a^{-1}=ba$，群交换，也矛盾。因此必有 $p$ 阶元，它生成 $p$ 阶子群。

$a^m$ 的阶为 $n/\gcd(m,n)$，所以它生成整个 $n$ 阶群当且仅当最大公因数为 1。

若 $d=um+vn$，则 $a^d=(a^m)^u\in\langle a^m\rangle$；又因 $d\mid m$，$a^m$ 是 $a^d$ 的幂。两边互含，故相等。

对 $g\notin H$，左陪集只有 $H$ 与 $gH$，右陪集也只有 $H$ 与 $Hg$。二者 $gH$、$Hg$ 都是 $G\setminus H$，所以相等；$g\in H$ 时显然 $gH=Hg=H$。故 $H\trianglelefteq G$。

所以前者不正规。$A_3$ 在 $S_3$ 中指数为 2，故正规；也可看成符号同态 $\operatorname{sgn}:S_3\to\{\pm1\}$ 的核。

对任意 $g\in G$，共轭子群 $gHg^{-1}$ 仍有 $n$ 个元素。由唯一性，它只能等于 $H$，故 $H$ 正规。

每个陪集有唯一的次数低于模多项式的代表元。因此第一个商环有

第二个有全部 $a_0+a_1\bar x+a_2\bar x^2$，其中 $a_i\in\mathbb F_2$，共 8 个。加法就是对应系数异或。

一般地，$\deg f=n$ 时全部元素为

共有 $2^n$ 个。我当时在这一题只记了“不会”；以上是按教材给出的补充解析。