作业 2：对称群与置换群（9 月 30 日）

题面依据课程目录中的教材还原，答案按我当时提交的内容重新排版。

1. 图形的对称性群

求正五边形、不等边矩形和圆的对称性群。

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正五边形的对称群是二面体群 $D_5$ ：5 个绕中心的旋转与 5 个反射，共 10 个元素。

不等边矩形只有恒等、旋转 $180^\circ$ 、关于两条中轴的反射，共 4 个元素，同构于 Klein 四元群 $V_4$ 。

圆的对称群包含任意角度的旋转以及关于任意过圆心直线的反射，是无限群 $O(2)$ 。

用 $S_3$ 置换变量 $x_1,x_2,x_3$ ，作用在 $x_1^3x_2^2x_3$ 上。问能得到几个不同单项式？写出它们，并构造含原单项式、项数最少的对称多项式。

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三个指数 $3,2,1$ 两两不同，因此稳定子只有恒等置换，轨道大小为 $|S_3|=6$ 。六项是

\begin{aligned} &x_1^3x_2^2x_3,\quad x_1^2x_2^3x_3,\quad x_1^3x_2x_3^2,\\ &x_1^2x_2x_3^3,\quad x_1x_2^3x_3^2,\quad x_1x_2^2x_3^3. \end{aligned}

把这六项相加就是所求项数最少的对称多项式。少任何一项，变量置换后都不能保持不变。

将四个群的全部元素写成不交循环之积。

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S_3=\{e,(12),(13),(23),(123),(132)\},

A_3=\{e,(123),(132)\}.

$S_4$ 的 24 个元素按循环型分为：恒等元 1 个；对换 6 个；两个不交对换 3 个；三循环 8 个；四循环 6 个。

$A_4$ 取其中偶置换，共 12 个：

\begin{aligned} A_4=\{&e,(123),(132),(124),(142),(134),(143),\\ &(234),(243),(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}. \end{aligned}

按循环型分组比逐项盲列更不容易漏项，也能用总数核对。

证明

V_4=\{e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}

在置换乘法下成群，并且是 $A_4$ 的子群。

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三个非单位元都为偶置换且平方为 $e$ 。任意两个不同的非单位元相乘得到第三个，例如

(12)(34)(13)(24)=(14)(23).

所以 $V_4$ 对乘法封闭，含幺元且每个元素的逆仍在其中，故是群。所有元素均为偶置换，所以 $V_4\le A_4$ 。