作业 1：代数运算与环的基本恒等式（9 月 12 日）

题面依据课程目录中的教材《近世代数习题解答》还原；我当时提交的文件只保留了手写作答。

1. 判断代数运算

判断下列运算是否是集合 $A$ 上的代数运算：

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答案依次为：否、否、是、是。

集合 $A$ 上的二元运算必须是 $A\times A\to A$ 。实数除法在除数为 0 时没有定义；数量乘法的第一个输入是实数而非向量，定义域不是 $A\times A$ 。两个空间向量的叉乘仍是空间向量；二元实函数按定义把两个实数映到实数，二者均满足要求。

集合 $\mathbb F_2=\{0,1\}$ 上按模 2 的加法和乘法运算。验证加法、乘法的交换律和结合律，以及乘法对加法的分配律。

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交换律可直接由两张运算表关于主对角线对称看出。结合律也可以枚举，但更容易这样理解：这里的运算就是整数加法、乘法后对 2 取余；整数中的结合律在取余后仍成立。

对分配律，若 $a=0$ ，则 $a(b+c)=0=ab+ac$ ；若 $a=1$ ，两边都等于 $b+c$ 。所以对全部 $a,b,c\in\mathbb F_2$ 都成立。

设 $R$ 是环， $a,b,c\in R$ 。证明：

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这些证明只使用环公理，不能偷偷使用乘法交换律。

对非负整数 $m,n$ 和 $a,b\in R$ ，证明

a^{m+n}=a^ma^n,\qquad (a^m)^n=a^{mn}.

若 $ab=ba$ ，再证明 $(ab)^m=a^mb^m$ 。

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前两式都对指数作归纳。以第一式为例， $n=0$ 时右侧为 $a^m1=a^m$ ；若对 $n$ 成立，则

a^{m+n+1}=a^{m+n}a=a^ma^na=a^ma^{n+1}.

第三式的关键是 $a,b$ 交换。若 $(ab)^m=a^mb^m$ ，则

(ab)^{m+1}=a^mb^mab=a^ma b^mb=a^{m+1}b^{m+1}.

没有交换条件时， $b^ma$ 不能换成 $ab^m$ ，结论一般不成立。

设 $a,b\in R$ 且 $ab=ba$ 。证明

(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk a^{n-k}b^k.

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对 $n$ 归纳。假设 $n$ 时成立，则

(a+b)^{n+1} =\sum_{k=0}^n\binom nk a^{n-k}b^k(a+b).

由于 $a,b$ 交换， $a^{n-k}b^ka=a^{n-k+1}b^k$ 。把乘 $a$ 与乘 $b$ 的两组项按相同的 $a^{n+1-k}b^k$ 合并，并使用 Pascal 恒等式

\binom nk+\binom n{k-1}=\binom{n+1}k,

就得到 $n+1$ 时的公式。