作业四 · P 型迭代学习控制

题目

车辆重复执行完全相同的循迹泊车任务。将横向控制模型简化为线性无记忆系统：

$y_k(t)=2.5u_k(t),$

其中 $u_k(t)$ 是第 $k$ 次迭代的方向盘转角指令， $y_k(t)$ 是实际横向位移。系统采用 P 型迭代学习律

$u_{k+1}(t)=u_k(t)+\Gamma e_k(t),$

其中

$e_k(t)=y_d(t)-y_k(t).$

推导误差收敛条件，求学习增益 $\Gamma$ 的合理范围；
设 $\Gamma=0.2$ 、 $u_1(t)=0$ ，并且 $y_d(3)=5$ m，计算第 1、2、3 次迭代在 $t=3$ s 处的误差，说明变化规律。

查看参考解答

下一轮误差为

$e_{k+1}=y_d-2.5u_{k+1}.$

代入学习律：

$e_{k+1}=y_d-2.5(u_k+\Gamma e_k).$

由于 $y_d-2.5u_k=e_k$ ，得到

$\boxed{e_{k+1}=(1-2.5\Gamma)e_k}.$

误差按公比 $\rho=1-2.5\Gamma$ 迭代。要使其收敛到 0，需要

$|1-2.5\Gamma|<1.$

解得

$\boxed{0<\Gamma<0.8}.$

当 $\Gamma=0.4$ 时，理论模型中的收敛因子为 0，可以一步消除误差； $\Gamma$ 超出上述区间则不会收敛。

代入 $\Gamma=0.2$ ：

$\rho=1-2.5\times0.2=0.5.$

第一轮没有控制输入：

$e_1(3)=5-2.5\times0=5\ \text{m}.$

之后每轮误差减半：

$e_2(3)=0.5e_1(3)=2.5\ \text{m},$

$e_3(3)=0.5e_2(3)=1.25\ \text{m}.$

因此误差构成公比为 0.5 的等比数列，随迭代次数指数衰减并趋于 0。