第 11 周作业：Hopf 分岔与捕食模型

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#作业

源作业对应教材 8.2.3 与 8.2.8。两题都在问同一件事：一对共轭特征值穿过虚轴后，产生的是稳定小环还是不稳定小环？

8.2.3：用平均径向方程识别亚临界 Hopf

x˙=−y+μx+xy2,y˙=x+μy−x2.\begin{aligned} \dot x&=-y+\mu x+xy^2,\\ \dot y&=x+\mu y-x^2. \end{aligned}

原点的雅可比矩阵为

J(0,0)=(μ−11μ),J(0,0)= \begin{pmatrix} \mu&-1\\ 1&\mu \end{pmatrix},

特征值

λ1,2=μ±i.\lambda_{1,2}=\mu\pm i.

所以 μ=0\mu=0 时满足 Hopf 分岔的线性必要条件；μ<0\mu<0 时原点稳定，μ>0\mu>0 时原点不稳定。

令 x=rcos⁡θ, y=rsin⁡θx=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta。由

rr˙=xx˙+yy˙r\dot r=x\dot x+y\dot y

得到

r˙=μr−r2cos⁡2θsin⁡θ+r3cos⁡2θsin⁡2θ.\dot r =\mu r-r^2\cos^2\theta\sin\theta +r^3\cos^2\theta\sin^2\theta.

小振幅时 θ˙=1+O(r)\dot\theta=1+O(r)。在一周内做平均：

⟨cos⁡2θsin⁡θ⟩=0,⟨cos⁡2θsin⁡2θ⟩=18.\left\langle\cos^2\theta\sin\theta\right\rangle=0, \qquad \left\langle\cos^2\theta\sin^2\theta\right\rangle=\frac18.

于是平均径向方程为

r˙=μr+18r3+高阶项.\dot r =\mu r+\frac18r^3+\text{高阶项}.

当 μ<0\mu<0 时，除 r=0r=0 外还有

r∗≈−8μ.r_*\approx\sqrt{-8\mu}.

对径向右端求导：

ddr(μr+18r3)∣r=r∗=−2μ>0,\left.\frac{d}{dr} \left(\mu r+\frac18r^3\right)\right|_{r=r_*} =-2\mu>0,

所以这个小极限环不稳定。它在 μ<0\mu<0 一侧包围稳定原点，随 μ↑0\mu\uparrow0 缩到原点；越过零后原点失稳而小环消失。因此这是亚临界 Hopf 分岔。

8.2.8：捕食者—猎物模型

x˙=x[x(1−x)−y],y˙=y(x−a),x,y,a≥0.\dot x=x[x(1-x)-y],\qquad \dot y=y(x-a), \qquad x,y,a\ge0.

xx 是猎物，yy 是捕食者，aa 是捕食者的死亡阈值。

零增长线与不动点

零增长线为

x=0或y=x(1−x),x=0\quad\text{或}\quad y=x(1-x),

以及

y=0或x=a.y=0\quad\text{或}\quad x=a.

不动点是

(0,0),(1,0),(a,a−a2).(0,0),\qquad (1,0),\qquad (a,a-a^2).

第三点只有在 0≤a≤10\le a\le1 时位于第一象限。

三个不动点的分类

雅可比矩阵

J(x,y)=(2x−3x2−y−xyx−a).J(x,y)= \begin{pmatrix} 2x-3x^2-y&-x\\ y&x-a \end{pmatrix}.

在 (0,0)(0,0)，线性化有一个零特征值。沿 y=0y=0，

x˙=x2(1−x)>0(0<x<1),\dot x=x^2(1-x)>0\qquad(0<x<1),

所以原点不稳定，是非双曲的鞍结型平衡。

在 (1,0)(1,0)，特征值为

−1,1−a.-1,\qquad 1-a.
  • 0<a<10<a<1 时是鞍点；
  • a>1a>1 时是稳定结点；
  • a=1a=1 时与共存平衡相碰，线性化退化。

在共存点 (a,a−a2)(a,a-a^2)，

τ=a(1−2a),Δ=a2(1−a).\tau=a(1-2a),\qquad \Delta=a^2(1-a).

对 0<a<10<a<1，行列式为正，稳定性由迹决定：

  • 0<a<1/20<a<1/2：迹为正，共存点不稳定；
  • 1/2<a<11/2<a<1：迹为负，共存点稳定；
  • a=1/2a=1/2：迹为零，出现纯虚特征值。

Hopf 临界值

在

aH=12a_H=\frac12

处，

Δ=18,λ1,2=±i22.\Delta=\frac18,\qquad \lambda_{1,2}=\pm\frac{i}{2\sqrt2}.

因此小振荡角频率为

ωH=122.\omega_H=\frac1{2\sqrt2}.

教材要求结合相图判断分岔类型：当 aa 从大于 1/21/2 降到小于 1/21/2，共存点由稳定变为不稳定，同时出现一条稳定极限环，所以是超临界 Hopf 分岔。若改用参数 μ=1/2−a\mu=1/2-a，它就是熟悉的“μ\mu 过零后稳定小环诞生”。

生物学解释

  • a>1a>1：捕食者死亡阈值过高，共存点离开第一象限，系统趋于 (1,0)(1,0)，捕食者灭绝；
  • 1/2<a<11/2<a<1：捕食者与猎物趋于稳定共存；
  • 0<a<1/20<a<1/2：共存点失稳，种群数量在稳定周期上持续振荡。

亚临界与超临界怎么不再记反

  • 超临界：不动点失稳的一侧出现稳定小环；
  • 亚临界：稳定不动点外侧存在不稳定小环，小环撞进原点后消失。

考试时不要只写名称。至少给出原点两侧的稳定性、极限环存在于参数哪一侧，以及极限环本身稳定还是不稳定。

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