第 12 讲：拟合优度、列联表与非参数检验

前面的检验大多假设总体属于某个分布族。拟合优度检验问“这个分布假设整体是否合理”；非参数检验则尽量减少对具体分布形状的依赖。

Pearson 卡方拟合优度检验

把样本分入 $k$ 类，观察频数为 $O_i$ 。若 $H_0$ 给出的类别概率为 $p_i$ ，期望频数 $E_i=np_i$ ，统计量

X^2=\sum_{i=1}^k\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}.

当期望频数足够大时，若所有 $p_i$ 完全已知，

X^2\approx\chi^2(k-1).

若从同一数据估计了 $r$ 个独立参数，自由度要再减 $r$ ：

\nu=k-1-r.

期望频数过小的类别应合并，否则卡方近似不可靠。

检验正态性等连续分布时，可先按区间分组，再计算每组理论概率。若均值、方差由样本估计，记得扣除两个自由度。课件也涉及专门的正态性检验；不同统计量的临界值不能混用。

$r\times c$ 列联表中，原假设是行变量与列变量独立。第 $(i,j)$ 格的期望频数为

E_{ij}=\frac{(\text{第 }i\text{ 行合计}) (\text{第 }j\text{ 列合计})}{n}.

仍使用

X^2=\sum_{i,j}\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}} \approx\chi^2((r-1)(c-1)).

拒绝独立性只说明存在关联，不说明因果关系；还应观察哪些格子的标准化残差最大。

检验总体中位数 $m=m_0$ 时，只记录每个观测在 $m_0$ 上方还是下方。连续分布且 $H_0$ 成立时，正号数

B\sim\operatorname{Binomial}(n,1/2).

它非常稳健，但丢掉了距离信息，功效通常低于适用前提满足时的 $t$ 检验。

对配对差值，去掉零差，按 $|D_i|$ 排秩，再分别求正、负秩和。它不仅使用方向，还利用相对大小。除独立和连续外，常需差值分布关于中位数对称。

Mann–Whitney/Wilcoxon 秩和检验把两组数据合并排序，考察一组的秩是否系统偏大。两组分布形状相同时可解释为位置差异；形状不同时，拒绝结论只是分布不同，不能简单说中位数不同。