第 11 讲：其他分布的检验与似然比方法

没有现成 z/t/χ2/Fz/t/\chi^2/F 枢轴量时，仍可以从似然出发。似然比检验统一了大量具体检验，也是课程中“从定义推导拒绝域”的主力。

比例检验

若 X∼Binomial⁡(n,p)X\sim\operatorname{Binomial}(n,p)，检验 H0:p=p0H_0:p=p_0。小样本可以直接用 Binomial 尾概率构造精确检验；大样本可用

Z=p^−p0p0(1−p0)/n≈N(0,1).Z=\frac{\hat p-p_0} {\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}\approx N(0,1).

检验标准误使用 H0H_0 给定的 p0p_0，因为统计量的零假设分布要在 H0H_0 下计算。

Poisson 参数检验

若 X1,…,Xn∼Poisson⁡(λ)X_1,\ldots,X_n\sim\operatorname{Poisson}(\lambda)，则

T=∑Xi∼Poisson⁡(nλ).T=\sum X_i\sim\operatorname{Poisson}(n\lambda).

因此可以直接对 TT 做精确尾概率检验。大样本下也可利用 Xˉ\bar X 的正态近似。

广义似然比

设零假设参数空间为 Θ0⊂Θ\Theta_0\subset\Theta，

Λ(x)=sup⁡θ∈Θ0L(θ;x)sup⁡θ∈ΘL(θ;x).\Lambda(x)= \frac{\sup_{\theta\in\Theta_0}L(\theta;x)} {\sup_{\theta\in\Theta}L(\theta;x)}.

0≤Λ≤10\le\Lambda\le1。分母让参数自由选择，分子要求遵守 H0H_0；若两者相差很大，即 Λ\Lambda 很小，说明 H0H_0 约束与数据冲突。

推导步骤：

  1. 求不受约束的 MLE θ^\hat\theta；
  2. 在 H0H_0 约束下求 MLE θ^0\hat\theta_0；
  3. 计算 Λ=L(θ^0)/L(θ^)\Lambda=L(\hat\theta_0)/L(\hat\theta)；
  4. 把“Λ\Lambda 小”化简为某个统计量落入尾部；
  5. 由 H0H_0 下分布选临界值。

例：正态方差的双侧检验

Xi∼N(μ,σ2)X_i\sim N(\mu,\sigma^2)，μ\mu 未知，检验 H0:σ2=σ02H_0:\sigma^2=\sigma_0^2。不受约束的 MLE 为

μ^=Xˉ,σ^2=1n∑(Xi−Xˉ)2.\hat\mu=\bar X,\qquad \hat\sigma^2=\frac1n\sum(X_i-\bar X)^2.

在 H0H_0 下仍有 μ^0=Xˉ\hat\mu_0=\bar X。代入似然后，Λ\Lambda 只取决于离差平方和；小或大到异常都会让 Λ\Lambda 变小。最终可用

(n−1)S2σ02∼χ2(n−1)\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}\sim\chi^2(n-1)

给出双侧拒绝域。

Wilks 渐近定理

正则条件下，若 H0H_0 比完整模型少 rr 个自由参数，

−2log⁡Λ→dχ2(r).-2\log\Lambda\xrightarrow{d}\chi^2(r).

这让复杂模型也能近似检验。但参数在边界、样本小、支持集依赖参数时，标准 χ2\chi^2 近似可能不成立。

似然比、Wald 与得分检验

三者大样本下常等价：

  • 似然比比较约束与不约束模型拟合；
  • Wald 看估计值离 H0H_0 多远；
  • 得分检验只在 H0H_0 处看似然上升方向。

课程以似然比为主，答题时重点写清两个极大值分别在哪个参数空间求。

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