第 13 讲：单因子方差分析、多重比较与方差齐性

有三组以上均值要比较时，不能对每两组反复做 tt 检验：比较次数越多，至少错拒一次的概率越高。方差分析先用一个总体检验回答“是否至少有一组不同”。

统计模型

有 rr 个水平，每个水平重复 mm 次：

Xij=μ+αi+εij,i=1,…,r, j=1,…,m,X_{ij}=\mu+\alpha_i+\varepsilon_{ij}, \quad i=1,\ldots,r,\ j=1,\ldots,m, εij∼i.i.d.N(0,σ2),∑i=1rαi=0.\varepsilon_{ij}\overset{\text{i.i.d.}}\sim N(0,\sigma^2), \qquad \sum_{i=1}^r\alpha_i=0.

检验

H0:α1=⋯=αr=0H_0:\alpha_1=\cdots=\alpha_r=0

对备择“至少一个 αi≠0\alpha_i\ne0”。

平方和分解

记组均值 Xˉi⋅\bar X_{i\cdot}、总均值 Xˉ⋅⋅\bar X_{\cdot\cdot}。对每个观测，

Xij−Xˉ⋅⋅=(Xˉi⋅−Xˉ⋅⋅)+(Xij−Xˉi⋅).X_{ij}-\bar X_{\cdot\cdot} =(\bar X_{i\cdot}-\bar X_{\cdot\cdot}) +(X_{ij}-\bar X_{i\cdot}).

平方求和后交叉项为零，得到

SST=SSA+SSE,SS_T=SS_A+SS_E,

其中

SSA=m∑i=1r(Xˉi⋅−Xˉ⋅⋅)2,SS_A=m\sum_{i=1}^r (\bar X_{i\cdot}-\bar X_{\cdot\cdot})^2, SSE=∑i=1r∑j=1m(Xij−Xˉi⋅)2.SS_E=\sum_{i=1}^r\sum_{j=1}^m (X_{ij}-\bar X_{i\cdot})^2.

自由度也相加：

rm−1=(r−1)+r(m−1).rm-1=(r-1)+r(m-1).

F 检验

MSA=SSAr−1,MSE=SSEr(m−1).MS_A=\frac{SS_A}{r-1},\qquad MS_E=\frac{SS_E}{r(m-1)}.

在 H0H_0 下二者都估计 σ2\sigma^2，且

F=MSAMSE∼F(r−1,r(m−1)).F=\frac{MS_A}{MS_E}\sim F(r-1,r(m-1)).

若组间波动相对组内噪声过大，就拒绝 H0H_0。

重复次数不相等时，SSASS_A 改为 ∑ini(Xˉi⋅−Xˉ⋅⋅)2\sum_i n_i(\bar X_{i\cdot}-\bar X_{\cdot\cdot})^2，误差自由度为 N−rN-r，思想不变。

多重比较

ANOVA 显著后才回答“哪些组不同”。课件涉及均值的多重比较，核心是把同时比较带来的家族错误率纳入临界值。常见方法包括 Bonferroni、Tukey 与最小显著差异法；不同方法的保守程度和适用设计不同。

不应在总体检验不显著后仍随意挑某一对宣称显著，也不应只报告显著的比较而隐藏全部比较数。

方差齐性

ANOVA 假设各组共享同一方差。课件给出两种检验：

  • Hartley 检验在各组样本量相等时使用
H=max⁡iSi2min⁡iSi2.H=\frac{\max_i S_i^2}{\min_i S_i^2}.

它比较最极端的两组方差，统计量显然至少为 1。

  • Bartlett 检验把合并方差与各组方差的对数差异组合起来，在正态前提下近似服从 χ2(r−1)\chi^2(r-1)。

Bartlett 对非正态很敏感。画残差图、检查异常值和方差随均值变化同样重要。

ANOVA 的三个前提

  1. 各观测独立；
  2. 各组误差近似正态；
  3. 各组方差相等。

这些都是误差项的前提，不要求所有组混在一起呈同一个正态分布。

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