第 8 讲：两总体与大样本置信区间

两样本问题最难的不是公式，而是先认清数据结构。两组互不相关的对象是独立样本；同一对象前后测或按特征配成一对，则应先做差，转成单样本问题。

两个正态均值之差：方差已知

独立样本来自

$$N(\mu_1,\sigma_1^2),\qquad N(\mu_2,\sigma_2^2),$$

且两方差已知时，

$$Z=\frac{(\bar X-\bar Y)-(\mu_1-\mu_2)} {\sqrt{\sigma_1^2/n_1+\sigma_2^2/n_2}} \sim N(0,1).$$

所以区间中心是 $\bar X-\bar Y$，半宽是正态分位点乘联合标准误。

方差未知但相等：合并方差

若 $\sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma^2$ 未知，使用

$$S_p^2= \frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2} {n_1+n_2-2},$$ $$T=\frac{(\bar X-\bar Y)-(\mu_1-\mu_2)} {S_p\sqrt{1/n_1+1/n_2}} \sim t(n_1+n_2-2).$$

“合并”成立是因为两份样本在估计同一个 $\sigma^2$。没有等方差前提就不该硬合并。

方差未知且不等：Welch 区间

$$\frac{(\bar X-\bar Y)-(\mu_1-\mu_2)} {\sqrt{S_1^2/n_1+S_2^2/n_2}} \approx t(\nu),$$

其中 Welch–Satterthwaite 自由度

$$\nu= \frac{(S_1^2/n_1+S_2^2/n_2)^2} {(S_1^2/n_1)^2/(n_1-1)+(S_2^2/n_2)^2/(n_2-1)}.$$

实践中不确信等方差时，Welch 方法通常比先做一次方差齐性检验再决定更稳健。

配对样本

令每一对差值 $D_i=X_i-Y_i$，问题变成对 $D_1,\ldots,D_n$ 的单样本均值区间：

$$\mu_D\in \bar D\pm t_{1-\alpha/2}(n-1)\frac{S_D}{\sqrt n}.$$

配对的好处是消除个体间差异。若把配对数据误当成两组独立样本，会丢掉相关性信息。

两个正态方差之比

$$F=\frac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2} =\frac{S_1^2/S_2^2}{\sigma_1^2/\sigma_2^2} \sim F(n_1-1,n_2-1).$$

解出 $\sigma_1^2/\sigma_2^2$：

$$\left[ \frac{S_1^2/S_2^2}{F_{1-\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)}, \frac{S_1^2/S_2^2}{F_{\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)} \right].$$

大样本差值

两个样本足够大时，均值差近似正态，未知方差可用样本方差替换。两个比例差同理：

$$(\hat p_1-\hat p_2)\pm z_{1-\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat p_1(1-\hat p_1)}{n_1} +\frac{\hat p_2(1-\hat p_2)}{n_2}}.$$

区间估计使用各组自己的比例；检验 $p_1=p_2$ 时，$H_0$ 下两组共享同一比例，标准误通常使用合并比例。二者不要混用。