第 7 讲：单总体参数的置信区间

区间估计不只给一个猜测，还给出由抽样波动决定的误差范围。课程里最可靠的做法是：先写枢轴量，再放分位点，最后解参数。

置信区间的频率学解释

参数 $\theta$ 固定，区间端点随样本随机。若

$$P_\theta\{L(X)\le\theta\le U(X)\}=1-\alpha,$$

则 $[L,U]$ 是置信度 $1-\alpha$ 的区间。重复抽样时，长期约有 $1-\alpha$ 的区间覆盖真参数。对已经得到的区间，经典解释不说“参数有 95% 概率在里面”。

图中的水平线是参数真值，每一条竖线都是一次重新抽样后得到的区间。少数区间没有穿过真值，正是“置信度描述长期覆盖率，而不是某个已算出区间的概率”的直观含义。

正态总体均值

方差已知

$$Z=\frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n}\sim N(0,1),$$

故双侧区间为

$$\mu\in \left[\bar X-z_{1-\alpha/2}\frac\sigma{\sqrt n}, \bar X+z_{1-\alpha/2}\frac\sigma{\sqrt n}\right].$$

方差未知

用 $S$ 替换 $\sigma$ 后必须换成 $t$ 分布：

$$T=\frac{\bar X-\mu}{S/\sqrt n}\sim t(n-1),$$

所以

$$\mu\in\bar X\pm t_{1-\alpha/2}(n-1)\frac S{\sqrt n}.$$

正态总体方差

利用

$$Q=\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1),$$

得到

$$\sigma^2\in \left[ \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)}, \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)} \right].$$

注意参数在分母，解不等式后两个分位点会交换位置。

Bernoulli 比例的大样本区间

样本比例 $\hat p=X/n$ 近似满足

$$\frac{\hat p-p}{\sqrt{p(1-p)/n}}\approx N(0,1).$$

把未知 $p$ 用 $\hat p$ 替换可得 Wald 区间

$$\hat p\pm z_{1-\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}n}.$$

它在样本小或比例接近 0、1 时表现不好；课程外实践通常优先 Wilson 区间。考题若明确要求大样本近似，再按课件形式作答。

单侧区间

只关心上界或下界时，把全部错误概率 $\alpha$ 放在一侧，使用 $1-\alpha$ 分位点，而不是 $1-\alpha/2$。先画分布尾部能有效避免写反。

区间宽度由什么决定

均值区间半宽大致为“分位点 × 标准误”。提高置信度会增大分位点，使区间更宽；增大样本量会按 $1/\sqrt n$ 缩窄区间。想把误差减半，样本量通常要扩大到四倍。