第 9 讲：假设检验、两类错误、功效与 p 值

假设检验不是证明哪个命题为真，而是在预先控制误判概率的前提下，看数据是否与 $H_0$ 冲突到足以拒绝它。

六步模板

1. 写参数与模型前提；
2. 写 $H_0$、$H_1$，确定单侧或双侧；
3. 选显著性水平 $\alpha$；
4. 在 $H_0$ 下找分布已知的检验统计量；
5. 构造总概率不超过 $\alpha$ 的拒绝域；
6. 代入数据，给出“拒绝”或“不拒绝”及语境结论。

若 $H_1:\theta>\theta_0$，证据在右尾；若 $H_1:\theta<\theta_0$，在左尾；若 $H_1:\theta\ne\theta_0$，通常把 $\alpha$ 分到两端。

两类错误

实际情况	不拒绝 $H_0$	拒绝 $H_0$
$H_0$ 为真	正确	第一类错误，概率 $\alpha$
$H_0$ 为假	第二类错误，概率 $\beta(\theta)$	正确，功效 $1-\beta(\theta)$

固定样本量时，压低 $\alpha$ 往往会抬高 $\beta$。同时降低两者通常需要增加样本量或降低噪声。

功效函数

检验的功效函数

$$\pi(\theta)=P_\theta\{\text{拒绝 }H_0\}$$

描述不同真实参数下发现差异的概率。在 $H_0$ 区域应不超过 $\alpha$；参数离原假设越远，理想检验的功效越高。

“结果不显著”可能只是样本太小、功效不足，不能直接当作“没有差异”的证据。

p 值

$p$ 值是在 $H_0$ 成立时，检验统计量取得当前观察值或更极端结果的概率。它是数据与 $H_0$ 冲突程度的刻度：

$$p\le\alpha\Longleftrightarrow\text{在水平 }\alpha\text{ 下拒绝 }H_0.$$

$p$ 值不是 $P(H_0\mid x)$，也不是结果由偶然造成的概率。它的定义仍以假设 $H_0$ 为真为条件。

单侧与双侧不能看完数据再选

方向必须由研究问题预先决定。看到样本均值偏大后临时把双侧改成右侧，会把第一类错误概率放大。若反方向的差异也重要，就应使用双侧检验。

统计显著不等于实际重要

样本非常大时，微小差异也可能有很小的 $p$ 值。结论还应报告效应量和置信区间：前者说明差异多大，后者说明不确定性多大。

Neyman–Pearson 思想

对简单假设 $H_0:\theta=\theta_0$ 与 $H_1:\theta=\theta_1$，固定第一类错误概率后，似然比

$$\frac{L(\theta_1;x)}{L(\theta_0;x)}$$

大的样本最支持 $H_1$。Neyman–Pearson 引理说明由此构造的检验具有最大功效，是似然比检验思想的起点。