第 16 周作业：奇解、包络与连续依赖

我当时的提交横跨习题 4.4、4.5。手写页中有一道截距曲线族题，原题名称不清，但参数关系和直线方程可以辨认，下面如实保留。

习题 4.4 第 1 题：求奇解

对下列方程使用 $p$ 判别式求奇解：

y=2xy'+x^2(y')^4,

x(y')^3-y(y')^2=1.

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令 $p=y'$ 。第一式写成

F=y-2xp-x^2p^4=0.

联立 $F_p=0$ 得 $p^3=-1/(2x)$ ；消去 $p$ 后得到包络型奇解

y=-\frac{3}{2^{4/3}}x^{2/3},

其中 $x^{2/3}$ 取实值。我当时在最后常数因子处有一次化简偏差，上式是代回原方程后成立的结果。

第二式可写为

y=xp-\frac1{p^2}.

联立 $\partial y/\partial p=0$ ，即 $x+2/p^3=0$ ，消去 $p$ 得

y=-3\left(\frac{x^2}{4}\right)^{1/3}.

设一族直线在 $y$ 轴上的截距为 $(0,m)$ ，在 $x$ 轴上的截距为 $(\pm(\alpha-|m|),0)$ ，其中 $\alpha>0$ 。求该直线族的包络。

查看我当时的提交与实现

我当时先按 $m$ 的正负及横截距的正负，分别写出

\pm\frac{x}{\alpha-|m|}+\frac ym=1,

再与对参数 $m$ 的偏导方程联立消元。令 $u=|m|$ ，并分别用 $s,r\in\{1,-1\}$ 表示横、纵截距的符号，则四支直线可统一写成

\frac{sx}{\alpha-u}+\frac{ry}{u}=1.

联立关于 $u$ 的偏导方程，得到包络的参数式

x=s\frac{(\alpha-u)^2}{\alpha},\qquad y=r\frac{u^2}{\alpha},\qquad 0\le u\le\alpha.

消去 $u$ 后，四支包络合起来就是

\sqrt{|x|}+\sqrt{|y|}=\sqrt\alpha.

源文件最后用图形工具把不同 $\alpha$ 的曲线叠画，以检查四种符号分支没有漏掉。

这道题的原始印刷题面不在目录中，因此这里不额外杜撰题目背景或曲线名称。

求下列曲线族的包络：

(x-C)^2+(y-C)^2=4,

(x-C)^2+y^2=4C.

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第一族令 $F=(x-C)^2+(y-C)^2-4$ 。由 $F_C=0$ 得 $C=(x+y)/2$ ，代回得到两条平行包络

y=x\pm2\sqrt2.

第二族由

F=(x-C)^2+y^2-4C=0,\qquad F_C=2(C-x)-4=0

得 $C=x+2$ ，代回得到

y^2=4x+4.

设 $y=\varphi(x;x_0,y_0)$ 是

y'=\sin(xy),\qquad y(x_0)=y_0

的解。求在 $(x_0,y_0)=(0,0)$ 处对 $x_0,y_0$ 的偏导。

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基准解是 $y\equiv0$ 。令

z=\frac{\partial\varphi}{\partial y_0},

则变分方程为 $z'=xz$ 、 $z(0)=1$ ，所以

\left.\frac{\partial\varphi}{\partial y_0}\right|_{(0,0)} =e^{x^2/2}.

对初始时刻的偏导满足同一个齐次变分方程，但初值为 $-f(0,0)=0$ ，因此

\left.\frac{\partial\varphi}{\partial x_0}\right|_{(0,0)}=0.

设 $f,g$ 非负连续， $g$ 单调不减，且

x(t)\le g(t)+\int_{t_0}^t f(\tau)x(\tau)d\tau.

证明

x(t)\le g(t)\exp\left(\int_{t_0}^t f(s)ds\right).

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令

u(t)=\int_{t_0}^t f(\tau)x(\tau)d\tau.

则 $u(t_0)=0$ ，并有

u'\le f(t)[g(t)+u(t)].

乘积分因子并积分，得到

u(t)\le g(t)\left[ \exp\left(\int_{t_0}^t f(s)ds\right)-1 \right],

其中用到了 $g(\tau)\le g(t)$ 。再代回 $x\le g+u$ 即得结论。