2025 年春常微分方程自测

#作业

这份材料的卷面标题明确写的是“常微分方程自测题”，因此我把它放在作业而不冒充真题。下面保留题面，并把我当时提交的手写结果转成可检索公式；明显的笔误会单独指出。

一、填空题

1. 恰当方程

求 eydx+(xey+y)dy=0e^y dx+(xe^y+y)dy=0 的通解。

查看我当时提交的答案 xey+12y2=C.xe^y+\frac12y^2=C.

2. 特征根与最低阶数

1,i,2−i1,i,2-i 是某实常系数线性齐次方程的特征根，阶数至少是多少？

查看我当时提交的答案

实系数要求共轭根 −i,2+i-i,2+i 也出现，因此至少有五个根，最低为五阶。

3. 一阶线性方程的极限

y′+y=q(x)y'+y=q(x)，qq 是 nn 次多项式，求 lim⁡x→−∞e2xy(x)\lim_{x\to-\infty}e^{2x}y(x)。

查看我当时提交的答案

通解由一个多项式特解与 Ce−xCe^{-x} 组成，乘 e2xe^{2x} 后两部分都趋于零，答案为 00。

4. 函数组的相关性

x−exx-e^x、2+sin⁡x2+\sin x、xcos⁡xx\cos x 在 R\mathbb R 上是否线性相关？

查看我当时提交的答案

不是。exe^x 的增长先迫使第一项系数为零，再由 xcos⁡xx\cos x 的无界振荡和 2+sin⁡x2+\sin x 得其余系数也为零。

5. 待定系数形式

对 y′′−3y′+2y=cos⁡x+5x−8exy''-3y'+2y=\cos x+5x-8e^x，写出一个特解的待定形式。

查看我当时提交的答案

因为特征根为 1,21,2，exe^x 与齐次解共振，应取

u=Acos⁡x+Bsin⁡x+ax+b+Cxex.u=A\cos x+B\sin x+ax+b+Cxe^x.

6. 用解的差构造通解

已知 y=xy=x 是对应齐次方程的解，而 x2+3x^2+3、x2+3+e−xx^2+3+e^{-x} 是非齐次方程的两个特解，写出非齐次方程通解。

查看我当时提交的答案

两个特解之差 e−xe^{-x} 也是齐次解，因此

y=x2+3+C1x+C2e−x.y=x^2+3+C_1x+C_2e^{-x}.

7. 积分因子

为 xdy+(2xy−e−2x)dx=0xdy+(2xy-e^{-2x})dx=0 写出一个积分因子。

查看我当时提交的答案 μ(x)=e2xx.\mu(x)=\frac{e^{2x}}x.

8. 曲线族的微分方程

写出曲线族 y=Cx+C3y=Cx+C^3 所满足的微分方程。

查看我当时提交的答案

令 p=y′=Cp=y'=C，消去参数得

y=xy′+(y′)3.y=xy'+(y')^3.

二、解微分方程

1. y′=2x(1+y2)y'=2x(1+y^2)

查看我当时提交的答案 arctan⁡y=x2+C,y=tan⁡(x2+C).\arctan y=x^2+C,\qquad y=\tan(x^2+C).

我当时附了 x≠0x\ne0，但分离积分并不需要这个限制。

2. 路径无关的曲线积分

已知

∫L(3x22+ysin⁡2x)dx+[f′(x)+4f(x)]dy\int_L\left(\frac{3x^2}{2}+y\sin2x\right)dx +[f'(x)+4f(x)]dy

与路径无关，且 f(0)=f′(0)=0f(0)=f'(0)=0，求 ff。

查看我当时提交的答案

恰当条件给出 f′′+4f′=sin⁡2xf''+4f'=\sin2x。代入两个初值可得

f(x)=18−110cos⁡2x−120sin⁡2x−140e−4x.f(x)=\frac18-\frac1{10}\cos2x-\frac1{20}\sin2x-\frac1{40}e^{-4x}.

3. x1−(y′)2=y′x\sqrt{1-(y')^2}=y'

查看我当时提交的答案

符号条件决定

y′=x1+x2,y'=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}},

所以

y=1+x2+C.y=\sqrt{1+x^2}+C.

4. yy′′−2(y′)2=0yy''-2(y')^2=0

查看我当时提交的答案

y=0y=0 是解。对 y≠0y\ne0，有

(y′y2)′=0,\left(\frac{y'}{y^2}\right)'=0,

从而

y=−1C1x+C2.y=-\frac1{C_1x+C_2}.

5. y′=−x+x2+yy'=-x+\sqrt{x^2+y}

查看我当时提交的答案

令 p=y′p=y'，平方前先保留 x+p≥0x+p\ge0 的定义条件。方程化为 y=2xp+p2y=2xp+p^2，可得参数解

x=Cp2−23p,y=2Cp−13p2.x=\frac C{p^2}-\frac23p,\qquad y=\frac{2C}{p}-\frac13p^2.

参数式还需满足 x+p≥0x+p\ge0。推导时除掉了 pp，因此另有 p=0p=0 对应的解支 y≡0y\equiv0，它只能取在 x≥0x\ge0 的区间上。

三、唯一性的等价命题

证明 y′=a(x)y+f(x)y'=a(x)y+f(x)、y(x0)=y0y(x_0)=y_0 的解唯一，当且仅当 v′=a(x)vv'=a(x)v、v(x0)=0v(x_0)=0 的零解唯一。

查看我当时提交的答案

两个非齐次解之差满足齐次零初值问题；反过来，若齐次零初值问题存在非零解，把它加到任一非齐次解上就会制造第二个非齐次解。两边分别使用这两个构造即可。

四、初值问题

求解

y′′−3y′+2y=xe2x,y(0)=0,y′(0)=1.y''-3y'+2y=xe^{2x},\qquad y(0)=0,\quad y'(0)=1.
查看我当时提交的答案

我当时得到

y=(12x2−x+2)e2x−2ex.y=\left(\frac12x^2-x+2\right)e^{2x}-2e^x.

代入 x=0x=0 及求导后可核对两个初值都成立。

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