2022–2023 学年第 8 次作业：采样定理

我按 2022–2023 学年 HW8.pdf 与 HW8 答案.pdf 整理，共八题。

1. 乘积信号的 Nyquist 抽样频率

信号 $x(t)$ 的 Nyquist 抽样角频率为 $\omega_1$。求

$$x(t)x(2t+1)\cos\omega_2t$$

的 Nyquist 抽样角频率。

2. 时间伸缩与乘积带宽

信号 $f(t)$ 的 Nyquist 抽样频率为 $f_s$。求

$$g(t)=f(t)f(t/2)$$

的 Nyquist 抽样频率。

3. 连续正弦的离散采样

对连续时间信号

$$x(t)=\cos(2\pi f_at)$$

按抽样频率 $f_s=8f_a$ 采样，写出所得离散时间信号 $x[n]$。

4. 最低抽样率与 Nyquist 间隔

确定下列信号的最低抽样率和 Nyquist 间隔，其中 $\operatorname{Sa}(x)=\sin x/x$：

1. $\operatorname{Sa}(100t)$；
2. $\operatorname{Sa}^2(100t)$；
3. $\operatorname{Sa}(100t)+\operatorname{Sa}(50t)$；
4. $\operatorname{Sa}(100t)+\operatorname{Sa}^2(60t)$。

5. 采样与理想低通恢复

最高频率为 400 Hz 的带限信号 $f(t)$ 经采样后，通过理想低通滤波器完全恢复：

1. 抽样间隔 $T$ 应满足什么条件？
2. 若 $T=1\text{ ms}$，截止频率 $f_c$ 应满足什么条件？

6. 抽样的定义与形式

什么叫信号的“抽样”？根据抽样脉冲序列的不同，抽样分为哪两种形式？

7. 组合信号的最大抽样间隔

已知 $f(t)$ 的最高角频率为 $\omega_m$。分别求下列信号频谱不混叠时的最大抽样间隔：

$$y_1(t)=f(t/2)+f(t/4),$$ $$y_2(t)=f(t/2)f(t/4).$$

8. 相乘后再抽样

系统中

$$f_1(t)=\operatorname{Sa}(1000\pi t), \qquad f_2(t)=\operatorname{Sa}(2000\pi t),$$ $$f(t)=f_1(t)f_2(t), \qquad p(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT),$$

并以 $p(t)$ 对 $f(t)$ 作冲激抽样得到 $f_s(t)$。

1. 为从 $f_s(t)$ 无失真恢复 $f(t)$，求最大抽样间隔 $T_{\max}$；
2. 当 $T=T_{\max}$ 时，画出 $f_s(t)$ 的幅度谱 $|F_s(\omega)|$。

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第 1 题

$x(t)$ 的最高角频率为 $\omega_1/2$，$x(2t+1)$ 的最高角频率为 $\omega_1$。时域相乘使带宽相加，再乘 $\cos\omega_2t$ 使频谱搬移，因此最高角频率为

$$\omega_m=\omega_2+\frac32\omega_1.$$

Nyquist 抽样角频率为

$$2\omega_m=2\omega_2+3\omega_1.$$

第 2 题

$f(t)$ 的最高频率为 $f_s/2$，$f(t/2)$ 的最高频率为 $f_s/4$，相乘后最高频率为 $3f_s/4$，因此 Nyquist 抽样频率为

$$\frac32f_s.$$

第 3 题

$$x[n]=x(nT)=\cos\left(2\pi\frac{f_a}{f_s}n\right) =\cos\left(\frac\pi4n\right).$$

第 4 题

依次为

$$f_{\min}=\frac{100}{\pi}\text{ Hz}, \qquad T_N=\frac\pi{100}\text{ s};$$ $$f_{\min}=\frac{200}{\pi}\text{ Hz}, \qquad T_N=\frac\pi{200}\text{ s};$$ $$f_{\min}=\frac{100}{\pi}\text{ Hz}, \qquad T_N=\frac\pi{100}\text{ s};$$ $$f_{\min}=\frac{120}{\pi}\text{ Hz}, \qquad T_N=\frac\pi{120}\text{ s}.$$

第 5 题

$$T\le\frac1{2\times400}=1.25\text{ ms}.$$

当 $T=1\text{ ms}$ 时，$f_s=1000\text{ Hz}$。为保留原频带又抑制第一幅频谱副本，

$$400\text{ Hz}<f_c<600\text{ Hz}.$$

第 6 题

抽样是用抽样脉冲序列从连续信号中取得一系列离散样值。按抽样脉冲序列的形式，可分为矩形脉冲抽样和冲激抽样。

第 7 题

$y_1$ 的最高角频率为 $\omega_m/2$，$y_2$ 的最高角频率为 $\omega_m/2+\omega_m/4=3\omega_m/4$，所以

$$T_1=\frac\pi{\omega_m/2}=\frac{2\pi}{\omega_m},$$ $$T_2=\frac\pi{3\omega_m/4}=\frac{4\pi}{3\omega_m}.$$

第 8 题

$F_1(\omega)$ 与 $F_2(\omega)$ 分别是带宽 $1000\pi$、$2000\pi$ 的矩形谱；时域相乘对应频域卷积，所以 $F(\omega)$ 的最大角频率为

$$\omega_m=3000\pi\text{ rad/s}.$$

因此

$$T_{\max}=\frac{2\pi}{2\omega_m}=\frac1{3000}\text{ s}.$$

此时 $\omega_s=6000\pi\text{ rad/s}$，各频谱副本恰好无重叠。源答案画出的幅度谱如下：