2022–2023 学年第 9 次作业：滤波与模拟滤波器设计

我按 2022–2023 学年 HW9.pdf 客观转写，共八题。源目录没有这次作业的答案文件，下面只保留题目，不补写答案。

1. 理想低通滤波器的输出

已知连续时间理想低通滤波器的单位冲激响应为

$$h(t)=\frac{\sin[5\pi(t-4)]}{\pi(t-4)}.$$

当 $x(t)=\sin\pi t$ 时，求输出 $y(t)$。

2. 由冲激响应求频率响应与输出

已知连续 LTI 系统的单位冲激响应为

$$h(t)=\frac14\left[ \operatorname{Sa}\left(\pi t+\frac\pi2\right) +2\operatorname{Sa}\left(\pi t-\frac\pi2\right) +\operatorname{Sa}\left(\pi t-\frac{3\pi}{2}\right) \right],$$

其中 $\operatorname{Sa}(t)=\sin t/t$。试求：

1. 系统的频率响应 $H(j\omega)$，并画出频谱图；

2. 该系统属于低通、带通、高通、全通或线性相位等哪类滤波器；

3. 当输入为

   $$f(t)=\frac{\sin(\pi t/2)}{\pi t}\cos(2\pi t) +\sum_{n=0}^{\infty}2^{-n} \cos\left[\frac n4\left(\frac{\pi t}{2}+\frac\pi4\right)\right]$$

   时，求输出 $y(t)$。

3. 调制后通过低通滤波器

输入 $f(t)$ 的频谱为 $F(\omega)=1$（$|\omega|\le2$），其余位置为 0。先将 $f(t)$ 与 $\cos3t$ 相乘，再通过

$$H(\omega)=\begin{cases} 1,&|\omega|\le3,\\ 0,&|\omega|>3 \end{cases}$$

的理想低通滤波器，求系统输出 $y(t)$。

4. 两个带限信号相乘后的采样

带限信号 $f_1(t)$、$f_2(t)$ 分别满足

$$F_1(\omega)=0\quad(|\omega|>\omega_1), \qquad F_2(\omega)=0\quad(|\omega|>\omega_2).$$

令 $f(t)=f_1(t)f_2(t)$，再用周期冲激序列

$$p(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)$$

抽样。确定通过理想低通滤波器从抽样信号中恢复 $f(t)$ 时允许的最大抽样间隔 $T_0$。

5. 理想低通能否硬件实现

频率响应满足

$$H(j\omega)\ne0\quad(|\omega|\le\omega_m), \qquad H(j\omega)=0\quad(\text{其他})$$

的理想低通滤波器能否用硬件实现？说明理由。

6. Butterworth 低通滤波器设计

用 Butterworth 滤波器设计满足下列条件的模拟低通滤波器：

$$0.8\le|H(j\omega)|\le1, \qquad0\le\omega\le5\text{ rad/s},$$ $$|H(j\omega)|\le0.1, \qquad\omega\ge10\text{ rad/s}.$$

7. 比较两类滤波器所需阶数

某模拟低通滤波器的技术指标为

$$f_p=2.1\text{ kHz}, \qquad f_s=8\text{ kHz},$$ $$A_p=0.5\text{ dB}, \qquad A_s=30\text{ dB}.$$

分别确定用 Butterworth 滤波器与 Chebyshev I 型滤波器实现这些指标所需的阶数。

8. Chebyshev I 型设计

用 Chebyshev I 型滤波器重做第 6 题。