2022–2023 学年第 7 次作业：离散傅里叶级数

我按 2022–2023 学年 HW7.pdf 与 HW7答案.pdf 整理，共两题。

1. 求周期序列的 DFS

周期序列 $x_p[n]$ 的周期为 $N=4$，一个周期内

$$x_p[0]=2, \qquad x_p[1]=1, \qquad x_p[2]=0, \qquad x_p[3]=1.$$

求其离散傅里叶级数系数 $X_p[k]$。

2. 判断 DFS 命题

图示实周期序列 $x_p[n]$ 的周期为 10：每个周期前五个样值为 $1$，后五个样值为 $-1$。

判断下列命题是否正确，并简述理由：

1. $X_p(k)=X_p(k+10)$；
2. $X_p(k)=X_p(-k)$；
3. $X_p(0)=0$；
4. 对任意 $k$，$X_p(k)e^{j(2\pi/5)k}\in\mathbb R$。

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第 1 题

由 DFS 定义，

$$X_p(k)=\sum_{n=0}^{3}x_p(n)e^{-j(2\pi/4)nk}.$$

代入一个周期的四个样值：

$$X_p(k)=2+e^{-j\pi k/2}+e^{-j3\pi k/2} =2\left[1+\cos\left(\frac{\pi k}{2}\right)\right].$$

第 2 题

1. 正确。时域周期为 10，DFS 系数也以 10 为周期；
2. 错误。实序列只能推出 $X_p(-k)=X_p^*(k)$；只有时域再满足偶对称时，才有 $X_p(-k)=X_p(k)$；
3. 正确。一个周期中五个 $1$ 与五个 $-1$ 相抵，$X_p(0)=\sum_{n=0}^{9}x_p[n]=0$；
4. 错误。源答案代入 $W=e^{-j\pi/5}$ 展开后指出，该表达式并非对所有 $k$ 都为实数；取不满足相应相位对称的 $k$ 即可构成反例。