2022–2023 学年第 6 次作业：z 变换与离散系统

我按 2022–2023 学年 HW6.pdf 与 HW6答案.pdf 整理，共四题。

1. 双边 z 变换

求

$$x[n]=\left(\frac12\right)^{|n|}$$

的双边 z 变换、收敛域与极点。

2. 求逆 z 变换

求：

1. $\dfrac1{1+0.5z^{-1}}$，$|z|>0.5$；
2. $\dfrac{1-0.5z^{-1}}{1-0.25z^{-2}}$，$|z|>0.5$；
3. $\dfrac{z^{-1}}{(1-6z^{-1})^2}$，$|z|>6$。

3. 初值与终值

对下列因果序列，求 $x[0]$ 与 $x[\infty]$：

$$X_1(z)=\frac{1+z^{-1}+z^{-2}} {(1-z^{-1})(1-2z^{-1})},$$ $$X_2(z)=\frac1{(1-0.5z^{-1})(1+0.5z^{-1})}.$$

4. 差分系统

系统满足

$$y[n]+y[n-1]=x[n],$$

且初始状态为零。

1. 求系统函数与单位样值响应，并判断系统是否稳定；
2. 当 $x[n]=10u[n]$ 时，求零状态响应。

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第 1 题

将 $n\ge0$ 与 $n<0$ 两段分别求和，得到

$$X(z)=-\frac{3z}{(z-2)(2z-1)}, \qquad \frac12<|z|<2.$$

极点为 $z=1/2$ 与 $z=2$。

第 2 题

依次为

$$\left(-\frac12\right)^nu[n],$$ $$\left(-\frac12\right)^nu[n],$$ $$n6^{n-1}u[n].$$

第二式约去公共因子后与第一式相同。

第 3 题

$X_1$ 的初值为 1；因存在单位圆外极点 $z=2$，终值不存在。$X_2$ 的初值为 1，极点 $\pm0.5$ 均在单位圆内，终值为 0。

第 4 题

题面所给系统本身对应

$$H(z)=\frac1{1+z^{-1}}=\frac z{z+1},$$ $$h[n]=(-1)^nu[n].$$

极点位于单位圆上的 $z=-1$，且 $\sum_n|h[n]|$ 发散，所以系统不满足 BIBO 稳定性。对 $x[n]=10u[n]$，

$$y[n]=5[1+(-1)^n]u[n].$$

源答案 PDF 在这一题改成了 $y[n]+3y[n-1]=x[n]$ 与另一组输入，和题面不一致，无法作为本题答案；这里给出的是对题面方程的核算结果。