2022–2023 学年第 5 次作业：离散信号与差分方程

我按 2022–2023 学年 HW5.pdf 与 HW5答案.pdf 整理，共六题。

1. 判断离散信号的周期性

判断下列信号是否为周期信号；若是，求最小正周期：

1. $A\cos(3\pi n/7-\pi/8)$；
2. $e^{j(n/8-\pi)}$。

2. 求解一阶差分方程

求解

$$y[n]+2y[n-1]=n-2, \qquad y[0]=1.$$

3. 求解二阶差分方程

求解

$$y[n]+2y[n-1]+y[n-2]=3^n, \qquad y[-1]=y[0]=0.$$

4. 由阶跃响应确定系统

某二阶 LTI 系统的单位阶跃响应为

$$y[n]=[2^n+3\cdot5^n+10]u[n].$$

1. 求描述该系统的二阶差分方程；
2. 求输入 $x[n]=2[u[n]-u[n-10]]$ 时的输出。

5. 弹跳小球模型

小球从高度 $H$ 落下，每次反弹高度是上一次的 $2/3$。建立反弹高度序列的差分方程；当 $H=2$ 时，写出序列的闭式表达。

6. 由框图写差分方程

原题给出两个只含乘法器、加法器与单位延时的系统框图。将它们分别化成一阶与二阶差分方程，明确输入 $x[n]$ 与输出 $y[n]$ 的关系。

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第 1 题

1. $\omega_0=3\pi/7$，满足 $\omega_0N=2\pi k$ 的最小正整数 $N$ 为 14，因此周期为 14；
2. $\omega_0=1/8$，$\omega_0/(2\pi)=1/(16\pi)$ 不是有理数，因此非周期。

第 2 题

$$y[n]=\frac19[13(-2)^n+3n-4].$$

第 3 题

$$y[n]=\left(-\frac34n-\frac9{16}\right)(-1)^n +\frac9{16}3^n.$$

第 4 题

差分方程为

$$y[n]-7y[n-1]+10y[n-2] =14x[n]-85x[n-1]+111x[n-2].$$

对题给有限时长输入，输出为两个阶跃响应之差：

$$y_o[n]=2\{[2^n+3\cdot5^n+10]u[n] -[2^{n-10}+3\cdot5^{n-10}+10]u[n-10]\}.$$

第 5 题

$$y[n]=\frac23y[n-1], \qquad y[0]=H.$$

当 $H=2$ 时，

$$y[n]=2\left(\frac23\right)^nu[n].$$

第 6 题

两个框图分别对应

$$b_0y[n]+b_1y[n-1]=a_0x[n]+a_1x[n-1],$$ $$y[n]-b_1y[n-1]-b_2y[n-2] =a_0x[n]+a_1x[n-1].$$