2022–2023 学年第 4 次作业：连续系统响应与系统函数

我按 2022–2023 学年 HW4.pdf 与 HW4答案.pdf 整理，共七题。

1. 判断系统性质

判断下列系统是否线性、时不变、因果：

1. $y(t)=f^2(t)$；
2. $y[n]=f[n]-2f[n-1]$。

2. 起始点跳变

分别判断 $r(t)$ 在 $t=0$ 是否跳变，并求 $r(0^+)$：

1. $r'(t)+2r(t)=e(t)$，$r(0^-)=0$，$e(t)=u(t)$；
2. $r'(t)+2r(t)=3e'(t)$，$r(0^-)=0$，$e(t)=u(t)$。

3. 响应分解

已知

$$r''+3r'+2r=e'+3e,$$

$e(t)=u(t)$、$r(0^-)=1$、$r'(0^-)=2$。求自由响应、受迫响应、零输入响应、零状态响应和全响应。

4. 拉普拉斯逆变换

求：

$$\frac3{(s+4)(s+2)}, \qquad \frac{3s}{(s+4)(s+2)}$$

的拉普拉斯逆变换。

5. 由零极点与稳态条件确定系统

某因果系统有极点 $-2,-1$ 和零点 $-3$。对单位阶跃输入，稳态输出为 1。求系统函数 $H(s)$ 与单位冲激响应 $h(t)$。

6. 极点位置与波形

在给定的 $s$ 平面极点位置中，比较对应因果冲激响应的衰减、增长、振荡频率与是否振荡，并说明极点实部和虚部分别控制什么。

7. 正反馈系统

前向通路由增益 $K$ 与 $s/(s^2+4s+4)$ 串联，输出以单位正反馈回到加法器。求闭环系统函数、稳定条件，以及临界稳定时的冲激响应。

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第 1 题

1. 因果、非线性、时不变；
2. 因果、线性、时不变。

第 2 题

第一式右端没有冲激，$r(0^+)=0$，不跳变。第二式右端含 $3\delta(t)$，跨越原点积分得 $r(0^+)=3$。

第 3 题

$$r_f(t)=\left(2e^{-t}-\frac52e^{-2t}\right)u(t), \qquad r_p(t)=\frac32u(t),$$ $$r_{zi}(t)=(4e^{-t}-3e^{-2t})u(t),$$ $$r_{zs}(t)=\left(-2e^{-t}+\frac12e^{-2t}+\frac32\right)u(t),$$ $$r(t)=\left(2e^{-t}-\frac52e^{-2t}+\frac32\right)u(t).$$

第 4 题

$$\frac32(e^{-2t}-e^{-4t})u(t),$$ $$3(2e^{-4t}-e^{-2t})u(t).$$

第 5 题

设

$$H(s)=K\frac{s+3}{(s+2)(s+1)}.$$

单位阶跃稳态值为 $H(0)=1$，故 $K=2/3$。因此

$$H(s)=\frac23\frac{s+3}{(s+2)(s+1)},$$ $$h(t)=\frac23(2e^{-t}-e^{-2t})u(t).$$

第 6 题

一对共轭极点 $\sigma\pm j\omega$ 对应

$$h(t)=Ae^{\sigma t}\cos(\omega t+\phi)u(t).$$

实部 $\sigma$ 控制包络：左半平面衰减、右半平面增长；虚部绝对值 $|\omega|$ 控制振荡频率；极点落在实轴上时没有振荡。

第 7 题

$$H(s)=\frac{Ks}{s^2+(4-K)s+4}.$$

稳定条件为 $K<4$。临界稳定时 $K=4$，

$$h(t)=4\cos2t\,u(t).$$