2022–2023 学年第 3 次作业：拉普拉斯变换

#作业

我按 2022–2023 学年 HW3.pdf 与 HW3答案.pdf 整理，共四题。

1. 求拉普拉斯变换

求下列因果信号的拉普拉斯变换：

  1. 1−e−αt1-e^{-\alpha t}；
  2. sin⁡t+2cos⁡t\sin t+2\cos t；
  3. te−2tte^{-2t}；
  4. e−tsin⁡2te^{-t}\sin2t；
  5. 2δ(t)−3e−7t2\delta(t)-3e^{-7t}；
  6. t2cos⁡2tt^2\cos2t。

2. 时移与门控

求：

  1. e−tu(t−2)e^{-t}u(t-2)；
  2. e−(t−2)u(t−2)e^{-(t-2)}u(t-2)；
  3. e−(t−2)u(t)e^{-(t-2)}u(t)

的拉普拉斯变换。

3. 求拉普拉斯逆变换

求：

1s+1,42s+3,4s(2s+3),As2+K2\frac1{s+1}, \qquad \frac4{2s+3}, \qquad \frac4{s(2s+3)}, \qquad \frac A{s^2+K^2}

的拉普拉斯逆变换。

4. 初值与终值

求下列 F(s)F(s) 对应信号的初值和终值：

s+6(s+2)(s+5),s+3(s+1)2(s+2).\frac{s+6}{(s+2)(s+5)}, \qquad \frac{s+3}{(s+1)^2(s+2)}.
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第 1 题

依次为

αs(s+α),2s+1s2+1,1(s+2)2,\frac{\alpha}{s(s+\alpha)}, \qquad \frac{2s+1}{s^2+1}, \qquad \frac1{(s+2)^2}, 2(s+1)2+4,2−3s+7=2s+11s+7,\frac2{(s+1)^2+4}, \qquad 2-\frac3{s+7}=\frac{2s+11}{s+7}, 2s(s2−12)(s2+4)3.\frac{2s(s^2-12)}{(s^2+4)^3}.

第 2 题

依次为

e−2(s+1)s+1,e−2ss+1,e2s+1.\frac{e^{-2(s+1)}}{s+1}, \qquad \frac{e^{-2s}}{s+1}, \qquad \frac{e^2}{s+1}.

第 3 题

依次为

e−tu(t),2e−3t/2u(t),e^{-t}u(t), \qquad 2e^{-3t/2}u(t), 43(1−e−3t/2)u(t),AKsin⁡(Kt)u(t).\frac43(1-e^{-3t/2})u(t), \qquad \frac AK\sin(Kt)u(t).

第 4 题

第一式初值为 1、终值为 0；第二式初值为 0、终值为 0。两式用于终值定理时，sF(s)sF(s) 的极点均在左半平面。

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