2022–2023 学年第 2 次作业：傅里叶级数与傅里叶变换

我按 2022–2023 学年 HW2.pdf 与 HW2答案.pdf 整理，共六题。

1. 两个周期信号的傅里叶级数

求下列两个周期信号的三角形式傅里叶级数：

1. 周期为 2，在一个周期 $0\le t<2$ 内

   $$f_1(t)=\begin{cases} 1,&0\le t<1,\\ -1,&1\le t<2; \end{cases}$$

2. 周期为 2，在一个周期 $-1\le t<1$ 内 $f_2(t)=|t|$。

2. 从波形判断谐波组成

原题给出四个周期信号的波形。按图中对称关系，分别判断其傅里叶级数包含直流、奇次或偶次谐波，以及正弦或余弦分量中的哪些部分。

图中从左到右、从上到下依次对应第 1 至第 4 个信号。

3. 按条件补全波形

已知 $f(t)$ 在 $0\le t\le T/4$ 上的一段波形：

分别按下列条件补全一个周期：

1. 偶函数，且只含偶次谐波；
2. 偶函数，且只含奇次谐波；
3. 奇函数，且只含奇次谐波；
4. 奇函数，同时含奇、偶次谐波。

4. 求傅里叶反变换

求：

1. $\delta(\omega-\omega_0)$；
2. $u(\omega+\omega_0)-u(\omega-\omega_0)$；
3. 在 $|\omega|\le\omega_0$ 时等于 $\omega_0/\pi$、其他位置为 0 的矩形频谱。

5. 利用性质求傅里叶变换

已知 $f(t)\leftrightarrow F(\omega)$，求：

1. $t f(2t)$；
2. $(t-2)f(t)$；
3. $t\,df(t)/dt$；
4. $f(2t-5)$。

6. 乘余弦的调制性质

已知 $f(t)\leftrightarrow F(\omega)$，求 $f(t)\cos\omega_0t$ 的傅里叶变换。

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第 1 题

$$f_1(t)=\sum_{m=0}^{\infty} \frac{4}{(2m+1)\pi}\sin[(2m+1)\pi t],$$ $$f_2(t)=\frac12-\sum_{m=0}^{\infty} \frac{4}{(2m+1)^2\pi^2}\cos[(2m+1)\pi t].$$

第 2 题

依次利用偶对称、奇对称、半波反对称和半周期重复关系，可判断为：

1. 只含奇次余弦；
2. 只含奇次谐波；
3. 只含正弦项；
4. 含直流与偶次正弦项。

第 3 题

四种延拓分别满足：

1. $f(-t)=f(t)$，$f(t+T/2)=f(t)$；
2. $f(-t)=f(t)$，$f(t+T/2)=-f(t)$；
3. $f(-t)=-f(t)$，$f(t+T/2)=-f(t)$；
4. $f(-t)=-f(t)$，但不再施加半波关系，答案不唯一。

源答案给出的示意如下：

第 4 题

依次为

$$\frac1{2\pi}e^{j\omega_0t},$$ $$\frac{\omega_0}{\pi}\operatorname{Sa}(\omega_0t),$$ $$\left(\frac{\omega_0}{\pi}\right)^2 \operatorname{Sa}(\omega_0t).$$

第 5 题

依次为

$$\frac1{2j}\frac d{d\omega}F\left(\frac\omega2\right),$$ $$jF'(\omega)-2F(\omega),$$ $$-F(\omega)-\omega F'(\omega),$$ $$\frac12F\left(\frac\omega2\right)e^{-j5\omega/2}.$$

第 6 题

$$\mathcal F\{f(t)\cos\omega_0t\} =\frac12[F(\omega-\omega_0)+F(\omega+\omega_0)].$$

源答案的欧拉展开中有一处符号笔误；上式按 $\cos\omega_0t=(e^{j\omega_0t}+e^{-j\omega_0t})/2$ 核对。