2022–2023 学年第 1 次作业：信号、冲激与正交分解

#作业

我按 2022–2023 学年 HW1.pdf 与 HW1答案和总结.pdf 整理，共九题。

1. 冲激函数的尺度性质

求单位冲激信号 δ(t)\delta(t) 与 δ(αt)\delta(\alpha t) 的关系，其中 α>0\alpha>0。

2. 判断周期性

判断下列信号是否为周期信号；若是，给出最小正周期：

  1. cos⁡2t\cos^2t；
  2. ej5te^{j5t}；
  3. sin⁡t+sin⁡(πt)\sin t+\sin(\pi t)。

3. 判断正误

  1. x[n]=cos⁡nx[n]=\cos n 是数字信号；
  2. 周期信号之和也是周期信号；
  3. 能量信号都是非周期信号（不考虑零信号）。

4. 周期信号之和

f1(t)f_1(t)、f2(t)f_2(t) 为周期信号，周期分别为 T1T_1、T2T_2。在什么条件下，f1(t)+f2(t)f_1(t)+f_2(t) 也是周期信号？

5. 波形变换

已知

f(t)={t+22,−2≤t<0,1,0≤t≤1,0,其他.f(t)=\begin{cases} \dfrac{t+2}{2},&-2\le t<0,\\ 1,&0\le t\le1,\\ 0,&\text{其他}. \end{cases}

用两种不同的运算顺序求 f(−2t+4)f(-2t+4) 的波形。

6. 冲激抽样计算

计算：

  1. ∫−∞∞f(t0−t)δ(t) dt\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(t_0-t)\delta(t)\,dt；
  2. ∫−∞∞(et−t)δ(t+1) dt\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}(e^t-t)\delta(t+1)\,dt；
  3. tδ(t)t\delta(t)；
  4. ∫−∞∞u(t−2)δ(t−4) dt\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}u(t-2)\delta(t-4)\,dt。

7. 证明函数集不正交

证明 {1,x,x2,…}\{1,x,x^2,\ldots\} 不是区间 (0,2)(0,2) 上的正交函数集。

8. 奇偶分解与直流—交流分解

  1. 对 f(t)=et+t2+tf(t)=e^t+t^2+t 作奇偶分解；
  2. 对 f(t)=cos⁡2tf(t)=\cos^2t 作直流—交流分解。

9. 均方误差意义下的线性近似

在区间 (0,1)(0,1) 上，用 f(t)=kt+bf(t)=kt+b 按均方误差准则近似 ete^t，求 k,bk,b。

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第 1 题

δ(αt)=1αδ(t),α>0.\delta(\alpha t)=\frac1\alpha\delta(t), \qquad \alpha>0.

第 2 题

  1. 最小正周期为 π\pi；
  2. 最小正周期为 2π/52\pi/5；
  3. 两个分量的周期比为 π\pi，不是有理数，因此不是周期信号。

第 3 题

依次为：错误、错误、正确。

  1. 离散时间信号的幅值不一定量化，不能直接称为数字信号；
  2. 两个周期信号未必存在公共周期；
  3. 非零周期信号会在每个周期重复贡献相同能量，总能量不可能有限。

第 4 题

通常使用的条件是

T1T2∈Q,\frac{T_1}{T_2}\in\mathbb Q,

此时存在正整数 m,nm,n 使 mT1=nT2mT_1=nT_2，该公共倍数就是和信号的一个周期。源答案特别指出：若把这个条件写成无条件的“充要条件”并不严谨，因为常数、相互抵消或信号具有更小基本周期等特殊情况会形成反例。

第 5 题

令 s=−2t+4s=-2t+4，得到

f(−2t+4)={1,32≤t≤2,3−t,2<t≤3,0,其他.f(-2t+4)=\begin{cases} 1,&\dfrac32\le t\le2,\\ 3-t,&2<t\le3,\\ 0,&\text{其他}. \end{cases}

第 6 题

依次为

f(t0),e−1+1,0,1.f(t_0),\qquad e^{-1}+1,\qquad0,\qquad1.

第 7 题

只需找到一对内积不为 0 的函数：

⟨1,x⟩=∫02x dx=2≠0.\langle1,x\rangle=\int_0^2x\,dx=2\ne0.

因此该函数集不正交。

第 8 题

fe(t)=cosh⁡t+t2,fo(t)=sinh⁡t+t.f_{\mathrm e}(t)=\cosh t+t^2, \qquad f_{\mathrm o}(t)=\sinh t+t.

由 cos⁡2t=(1+cos⁡2t)/2\cos^2t=(1+\cos2t)/2，直流分量为 1/21/2，交流分量为 cos⁡2t/2\cos2t/2。

第 9 题

令误差分别与 1,t1,t 正交，解正规方程得到

k=18−6e,b=4e−10.k=18-6e, \qquad b=4e-10.

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