2023–2024 学年第 7、8 次作业：DFT 与采样

我按 2023–2024 学年合并布置的 HW7+＆+8.pdf 与 HW7 & 8 参考答案.pdf 整理，共四道大题。

1. DFT、移位与频域抽样

1.1 求 DFT

求下列有限长信号的 DFT：

1. $x[n]=\sin(2\pi n/5)+\cos(4\pi n/5)$，$N=5$；
2. $x[n]=\delta[n]+\delta[n-1]-\delta[n-2]-\delta[n-3]$，$N=4$；
3. 同一序列按 $N=5$ 作 DFT。

1.2 循环移位

对第 1.1 题中的四点序列，求循环移位 $x[n-1]$、$x[n-2]$ 的 DFT。

1.3 DTFT 抽样

求该四点序列的 DTFT；在一个 $2\pi$ 周期内只等间隔抽两个频点，构造相应时域序列，并判断能否由这两个样本恢复原序列。

1.4 DFT 的可逆性

证明 $N$ 点 DFT 可以唯一恢复原来的 $N$ 点序列。

2. 带限信号的采样

最高频率为 800 Hz 的带限信号 $f(t)$ 经均匀采样后，希望通过理想低通滤波器完全恢复：

1. 抽样间隔 $T$ 应满足什么条件？
2. 若 $T=2\text{ ms}$，理想低通截止频率 $f_c$ 应满足什么条件？

3. 组合信号的最大采样间隔

已知 $f(t)$ 的最高角频率为 $\omega_m$，求下列信号频谱不混叠时的最大采样间隔：

1. $f(t/2)+f(t/3)$；
2. $f(t/2)f(t/3)$。

4. 欠采样后的混叠

对 $x(t)=\cos(\omega_0t)$ 以 $T=2\pi/\omega_s$ 采样，其中 $\omega_0<\omega_s<2\omega_0$。说明采样后的频谱，写出一种低通重构结果，并证明重构信号与原信号在所有采样点上取值相同。

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第 1.1 题

第一题：

$$X[k]=[0,-\tfrac52j,\tfrac52,\tfrac52,\tfrac52j].$$

第二题：

$$X[k]=1+e^{-jk\pi/2}-e^{-jk\pi}-e^{-j3k\pi/2}, \qquad k=0,1,2,3.$$

第三题：

$$X[k]=1+e^{-j2\pi k/5}-e^{-j4\pi k/5}-e^{-j6\pi k/5}, \qquad k=0,\ldots,4.$$

第 1.2 题

若 $X[k]$ 是原四点序列的 DFT，则循环延时 $m$ 点后为

$$X_m[k]=X[k]e^{-j2\pi km/4}.$$

分别令 $m=1,2$ 即得两组答案。

第 1.3 题

DTFT 为

$$X(e^{j\Omega})=1+e^{-j\Omega}-e^{-j2\Omega}-e^{-j3\Omega}.$$

若只取 $\Omega=0,\pi$，两个样本都为 0，对应的两点 IDFT 是全零序列。它不能恢复原四点序列，说明频域样本不足会丢失信息。

第 1.4 题

由复指数正交性

$$\sum_{k=0}^{N-1}e^{j2\pi k(n-m)/N}=N\delta[n-m],$$

得到 IDFT：

$$x[n]=\frac1N\sum_{k=0}^{N-1}X[k]e^{j2\pi kn/N}, \qquad0\le n<N.$$

第 2 题

Nyquist 条件要求

$$f_s\ge1600\text{ Hz}, \qquad T\le0.625\text{ ms}.$$

当 $T=2\text{ ms}$ 时，$f_s=500\text{ Hz}$，低于 Nyquist 频率，频谱已经混叠，因此不存在一个截止频率能保证对任意原始 800 Hz 带限信号完全恢复。源答案给出的 $f_c\le250\text{ Hz}$ 只是采样后主值区间的上界，不能消除已发生的混叠；源答案也标注了题设存在问题。

第 3 题

$$T_1=\frac{2\pi}{\omega_m}, \qquad T_2=\frac{6\pi}{5\omega_m}.$$

第一题相加后带宽取 $\omega_m/2$；第二题时域相乘对应频域卷积，带宽为 $\omega_m/2+\omega_m/3=5\omega_m/6$。

第 4 题

采样后频谱以 $\omega_s$ 为间隔周期延拓。由于 $\omega_s<2\omega_0$，基带内出现混叠，一种低通重构是

$$x_r(t)=\cos[(\omega_0-\omega_s)t].$$

它通常不等于原信号，但

$$x_r(nT)=\cos(\omega_0nT-2\pi n)=\cos(\omega_0nT)=x(nT).$$