2023–2024 学年第 6 次作业：z 变换与 DTFT

#作业

我按 2023–2024 学年 HW6.pdf 与 HW6 参考答案.pdf 整理，共五题。

1. 从 s 平面映射到 z 平面

已知

z=esT=e(σ+jω)T.z=e^{sT}=e^{(\sigma+j\omega)T}.

说明 ss 平面的虚轴、左半平面、右半平面以及宽度为 2π/T2\pi/T 的水平带分别映射到 zz 平面的什么区域；并说明 ω\omega 增加时映射点怎样运动。

s 平面到 z 平面的映射示意

2. 求 z 变换与收敛域

求：

  1. (1/3)−nu[n](1/3)^{-n}u[n]；
  2. (1/3)nu[−n](1/3)^nu[-n]；
  3. (1/2)∣n∣(1/2)^{|n|}。

3. 求逆 z 变换

求：

  1. −2z−2+2z+1-2z^{-2}+2z+1；
  2. 11−3z−1\dfrac1{1-3z^{-1}}，∣z∣<3|z|<3；
  3. 1−0.5z−11−0.25z−2\dfrac{1-0.5z^{-1}}{1-0.25z^{-2}}，∣z∣>0.5|z|>0.5；
  4. z−1(1−6z−1)2\dfrac{z^{-1}}{(1-6z^{-1})^2}，∣z∣>6|z|>6。

4. 时间反转、初值与终值

  1. 证明 Z{x[−n]}=X(z−1)\mathcal Z\{x[-n]\}=X(z^{-1})；

  2. 对下列两个因果序列，求 x[0]x[0] 与 x[∞]x[\infty]：

    X1(z)=1+z−1+z−2(1−z−1)(1−2z−1),X_1(z)=\frac{1+z^{-1}+z^{-2}} {(1-z^{-1})(1-2z^{-1})}, X2(z)=1(1−0.5z−1)(1+0.5z−1).X_2(z)=\frac1{(1-0.5z^{-1})(1+0.5z^{-1})}.

5. 利用 DTFT 性质

已知 x[n]=0.8nu[n]x[n]=0.8^nu[n]，求下列信号的 DTFT：

  1. 0.8nu[n−2]0.8^nu[n-2]；
  2. 0.8nu[n]cos⁡(0.1πn)0.8^nu[n]\cos(0.1\pi n)；
  3. n0.8nu[n]n0.8^nu[n]；
  4. 0.8−nu[−n]0.8^{-n}u[-n]；
  5. 0.8n[u[n]−u[n−6]]0.8^n[u[n]-u[n-6]]。
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第 1 题

虚轴 σ=0\sigma=0 映到单位圆；左半平面映到单位圆内，右半平面映到单位圆外。ω\omega 每增加 2π/T2\pi/T，相角增加 2π2\pi，映射点绕原点一周，所以任意宽度为 2π/T2\pi/T 的水平带都覆盖一次完整的 zz 平面角度。

第 2 题

依次为

zz−3,∣z∣>3,\frac z{z-3},\qquad |z|>3, 11−3z,∣z∣<13,\frac1{1-3z},\qquad |z|<\frac13, −3z/2(z−1/2)(z−2),12<∣z∣<2.-\frac{3z/2}{(z-1/2)(z-2)}, \qquad \frac12<|z|<2.

第 3 题

依次为

δ[n]+2δ[n+1]−2δ[n−2],\delta[n]+2\delta[n+1]-2\delta[n-2], −3nu[−n−1],-3^nu[-n-1], (−12)nu[n],\left(-\frac12\right)^nu[n], n6n−1u[n].n6^{n-1}u[n].

第 4 题

由定义令 m=−nm=-n：

Z{x[−n]}=∑n=−∞∞x[−n]z−n=∑m=−∞∞x[m](z−1)−m=X(z−1).\mathcal Z\{x[-n]\} =\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[-n]z^{-n} =\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m](z^{-1})^{-m} =X(z^{-1}).

对 X1X_1，初值为 1；因存在单位圆外极点 z=2z=2，终值不存在。对 X2X_2，初值为 1，且极点 ±0.5\pm0.5 均在单位圆内，终值为 0。

第 5 题

依次为

(0.8e−jω)21−0.8e−jω,\frac{(0.8e^{-j\omega})^2}{1-0.8e^{-j\omega}}, 12[11−0.8e−j(ω−0.1π)+11−0.8e−j(ω+0.1π)],\frac12\left[ \frac1{1-0.8e^{-j(\omega-0.1\pi)}} +\frac1{1-0.8e^{-j(\omega+0.1\pi)}} \right], 0.8e−jω(1−0.8e−jω)2,\frac{0.8e^{-j\omega}}{(1-0.8e^{-j\omega})^2}, 11−0.8ejω,\frac1{1-0.8e^{j\omega}}, 1−(0.8e−jω)61−0.8e−jω.\frac{1-(0.8e^{-j\omega})^6}{1-0.8e^{-j\omega}}.

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