2023–2024 学年第 5 次作业：离散系统与差分方程

我按 2023–2024 学年 HW5.pdf 与 HW5 参考答案.pdf 整理，共三道大题。

1. 判断离散系统的性质

判断下列系统是否因果、线性、时不变：

1. $y[n]=\cos(x[n])$；
2. $y[n]=2n^2x[n]+nx[n+1]$；
3. $y[n]=\max(x[n],x[n+1])$；
4. $y[n]=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}2^{-k}x[n-k]$。

2. 差分方程响应

2.1 四种响应分解

分别求自由响应、受迫响应、零输入响应和零状态响应：

1. $y[n]+2y[n-1]+y[n-2]=3^nu[n]$，$y[-2]=y[-1]=0$；
2. 同一方程与输入，但给定 $y[0]=y[1]=0$；
3. $y[n]-3y[n-1]-4y[n-2]=x[n]-x[n-1]$，$x[n]=n^2u[n]$，$y[0]=y[1]=0$。

2.2 单位样值响应

求第 1、3 个系统的因果单位样值响应。

2.3 卷积法

用单位样值响应与输入卷积，验证相应的零状态响应。

2.4 思考题

比较自由—受迫分解与零输入—零状态分解的依据，并说明差分方程给出的初值位于哪一侧会影响哪些分量。

3. 离散卷积

计算：

1. $x_1[n]=2\delta[n]+2\delta[n-1]+4\delta[n-2]+2\delta[n-3]$，$x_2[n]=11\delta[n+1]+77\delta[n]$；
2. $x_1[n]=2\delta[n+10]+2\delta[n-10]$，$x_2[n]=3\delta[n+5]+3\delta[n-5]$；
3. $x_1[n]=(-1)^n$，$x_2[n]=\delta[n]+\delta[n-1]$。

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第 1 题

依次为：

1. 因果、非线性、时不变；
2. 非因果、线性、时变；
3. 非因果、非线性、时不变；
4. 因果、线性、时不变。

第 2.1 题

第一个系统：

$$y_f[n]=\left(\frac n4+\frac7{16}\right)(-1)^n, \qquad y_p[n]=\frac9{16}3^n,$$ $$y_{zi}[n]=0, \qquad y_{zs}[n]=\left(\frac n4+\frac7{16}\right)(-1)^n+\frac9{16}3^n.$$

第二个系统：

$$y_f[n]=\left(\frac94n-\frac9{16}\right)(-1)^n, \qquad y_p[n]=\frac9{16}3^n,$$ $$y_{zi}[n]=(2n-1)(-1)^n,$$ $$y_{zs}[n]=\left(\frac n4+\frac7{16}\right)(-1)^n+\frac9{16}3^n.$$

第三个系统：

$$y_f[n]=\frac{11}{45}4^n+\frac15(-1)^n, \qquad y_p[n]=-\frac n3-\frac49,$$ $$y_{zi}[n]=-\frac15 4^n+\frac15(-1)^n,$$ $$y_{zs}[n]=\frac49 4^n-\frac n3-\frac49.$$

第 2.2 与 2.3 题

前两个相关系统的单位样值响应为

$$h_1[n]=(n+1)(-1)^nu[n],$$ $$h_3[n]=\left(\frac35 4^n+\frac25(-1)^n\right)u[n].$$

分别与 $3^nu[n]$、$n^2u[n]$ 卷积，可得到上面的零状态响应。

第 2.4 题

自由—受迫分解按“齐次解与特解”划分；零输入—零状态分解按“初始储能与外部输入”划分。给定 $y[-1],y[-2]$ 可直接描述起始前状态；若给的是 $y[0],y[1]$，求零输入分量前还要结合差分方程倒推起始前状态。

第 3 题

依次为

$$22\delta[n+1]+176\delta[n]+198\delta[n-1] +330\delta[n-2]+154\delta[n-3],$$ $$6[\delta[n+15]+\delta[n+5]+\delta[n-5]+\delta[n-15]],$$ $$(-1)^n+(-1)^{n-1}=0.$$