2023–2024 学年第 2 次作业：傅里叶级数与傅里叶变换

我按 2023–2024 学年 HW2.pdf 与 HW2 参考答案.pdf 整理，共四题。

1. 下降锯齿波的傅里叶级数

周期信号 $f(t)$ 的周期为 $T$，在一个周期 $0\le t<T$ 内从 $E$ 线性下降到 0，即

$$f(t)=E\left(1-\frac tT\right),\qquad0\le t<T.$$

求其指数形式傅里叶级数。

2. 按对称条件补全波形

已知 $f(t)$ 在 $0\le t\le T/4$ 上的一段波形：

分别按下列条件补全一个周期：

1. 偶函数，且只含偶次谐波；
2. 偶函数，且只含奇次谐波；
3. 奇函数，且只含奇次谐波；
4. 奇函数，同时含奇、偶次谐波。

3. 求傅里叶变换

求下列信号的傅里叶变换：

1. $\cos\omega_0t$；
2. $\sin\omega_0t$；
3. $e^{-2|t-1|}$；
4. $e^{-2(t-1)}u(t-1)$；
5. $\delta(t+1)+\delta(t-1)$；
6. $t\,df(t)/dt$，已知 $f(t)\leftrightarrow F(\omega)$；
7. $\dfrac d{dt}[u(-2-t)+u(t-2)]$。

4. 求傅里叶反变换

求下列频谱的傅里叶反变换：

1. $2\pi\delta(\omega)+\pi\delta(\omega-4\pi)+\pi\delta(\omega+4\pi)$；

$$X(\omega)=\begin{cases} 2,&0\le\omega\le2,\\ -2,&-2\le\omega<0,\\ 0,&\text{其他}; \end{cases}$$

1. $u(\omega+\omega_0)-u(\omega-\omega_0)$。

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第 1 题

取 $\omega_0=2\pi/T$。指数形式系数为

$$F_0=\frac E2,$$ $$F_n=\frac1T\int_0^TE\left(1-\frac tT\right)e^{-jn\omega_0t}\,dt =-\frac{jE}{2n\pi},\qquad n\ne0.$$

因此

$$f(t)=\frac E2+\sum_{n\ne0} \left(-\frac{jE}{2n\pi}\right)e^{jn\omega_0t}.$$

第 2 题

补图时分别使用以下关系：

1. $f(-t)=f(t)$，且 $f(t+T/2)=f(t)$；
2. $f(-t)=f(t)$，且 $f(t+T/2)=-f(t)$；
3. $f(-t)=-f(t)$，且 $f(t+T/2)=-f(t)$；
4. $f(-t)=-f(t)$，但不应再施加半波重复或半波反对称条件。后半周期只需保持奇对称并避免额外半波对称，因此答案不唯一。

源答案给出的四种示意如下：

第 3 题

依次为

$$\pi[\delta(\omega+\omega_0)+\delta(\omega-\omega_0)],$$ $$j\pi[\delta(\omega+\omega_0)-\delta(\omega-\omega_0)],$$ $$\frac{4e^{-j\omega}}{4+\omega^2}, \qquad \frac{e^{-j\omega}}{2+j\omega}, \qquad 2\cos\omega,$$ $$-F(\omega)-\omega F'(\omega), \qquad -2j\sin2\omega.$$

第 4 题

依次为

$$x_1(t)=1+\cos4\pi t,$$ $$x_2(t)=\frac{4j\sin^2t}{\pi t},$$ $$x_3(t)=\frac{\omega_0}{\pi}\operatorname{Sa}(\omega_0t) =\frac{\sin(\omega_0t)}{\pi t}.$$