2023–2024 学年第 1 次作业：信号、冲激与正交分解

#作业

我按 2023–2024 学年 HW1.pdf 与 HW1 参考答案.pdf 整理，共九题。

1. 证明冲激函数的性质

证明（a≠0a\ne0）：

∫−∞∞f(t)δ(at+b) dt=∫−∞∞f(t)∣a∣δ(t+ba) dt,\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(at+b)\,dt =\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(t)}{|a|} \delta\left(t+\frac ba\right)\,dt, ∫−∞∞f(t)δ′(t) dt=−f′(0).\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta'(t)\,dt=-f'(0).

2. 判断周期性

判断下列信号是否为周期信号；若是，求其最小正周期：

  1. sin⁡2t\sin^2t；
  2. ej2te^{j2t}；
  3. cos⁡t+cos⁡(πt)\cos t+\cos(\pi t)。

3. 判断正误

判断下列说法是否正确，并说明理由：

  1. x[n]=cos⁡nx[n]=\cos n 是数字信号；
  2. 周期信号之和是周期信号；
  3. 非周期信号之和是非周期信号；
  4. 非零能量信号一定是非周期信号。

4. 波形变换

已知

f(t)={t+22,−2≤t<0,1,0≤t≤1,0,其他.f(t)=\begin{cases} \dfrac{t+2}{2},&-2\le t<0,\\ 1,&0\le t\le1,\\ 0,&\text{其他}. \end{cases}

分别用两种运算顺序画出 f(−3t+9)f(-3t+9)。

5. 冲激抽样计算

计算：

  1. ∫−∞∞f(t0−t)δ(t) dt\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(t_0-t)\delta(t)\,dt；
  2. ∫−∞∞(et−cos⁡πt)δ(t+1) dt\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}(e^t-\cos\pi t)\delta(t+1)\,dt；
  3. sin⁡t δ(t)\sin t\,\delta(t)；
  4. ∫−∞∞u(t−1)δ(t−3) dt\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}u(t-1)\delta(t-3)\,dt。

6. 判断正交性

判断下列函数集是否在指定区间内正交：

  1. {1,x,x2,…}\{1,x,x^2,\ldots\}，区间 (0,2)(0,2)；
  2. {1,cos⁡t,cos⁡2t,…}\{1,\cos t,\cos2t,\ldots\}，区间 (0,2π)(0,2\pi)；
  3. {cos⁡t,cos⁡2t,…}\{\cos t,\cos2t,\ldots\}，区间 (0,π/2)(0,\pi/2)。

7. 奇偶分解与直流—交流分解

  1. 求 et+t2−te^t+t^2-t 的偶分量与奇分量；
  2. 写出任意信号 f(t)f(t) 的奇偶分解公式；
  3. 求 cos⁡2t\cos^2t 的直流分量与交流分量。

8. 均方误差意义下的二次近似

在 (−1,1)(-1,1) 上，用 at2+bt+cat^2+bt+c 按均方误差准则近似 ete^t，求 a,b,ca,b,c。

9. 矩形波的正交近似

在一个周期 [0,2π)[0,2\pi) 内，令

f(t)={1,0≤t<π,−1,π≤t<2π.f(t)=\begin{cases} 1,&0\le t<\pi,\\ -1,&\pi\le t<2\pi. \end{cases}

用 {sin⁡t,sin⁡2t,sin⁡3t,sin⁡4t}\{\sin t,\sin2t,\sin3t,\sin4t\} 逐步近似 f(t)f(t)，求各系数，并比较分别截断到第 1、2、3、4 项时的均方误差。

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第 1 题

由冲激的尺度性质，

δ(at+b)=1∣a∣δ(t+ba),\delta(at+b)=\frac1{|a|}\delta\left(t+\frac ba\right),

代入积分即得第一式。第二式在分布意义下分部积分：

∫f(t)δ′(t) dt=−∫f′(t)δ(t) dt=−f′(0).\int f(t)\delta'(t)\,dt =-\int f'(t)\delta(t)\,dt=-f'(0).

第 2 题

  1. sin⁡2t=(1−cos⁡2t)/2\sin^2t=(1-\cos2t)/2，最小正周期为 π\pi；
  2. 最小正周期为 π\pi；
  3. 两个分量的周期比为 π\pi，不是有理数，因此不是周期信号。

第 3 题

依次为：错误、错误、错误、正确。

  1. 自变量离散不等于幅值也量化，cos⁡n\cos n 是离散时间信号，不是数字信号；
  2. 两个周期必须存在公共周期，其周期之比通常需为有理数；
  3. 两个非周期信号可能相加成周期信号；
  4. 非零周期信号每个周期都重复贡献同样的能量，总能量不可能有限。

第 4 题

令 s=−3t+9s=-3t+9。由 s∈[−2,0]s\in[-2,0] 与 s∈[0,1]s\in[0,1] 分别反解 tt，得到

f(−3t+9)={1,83≤t≤3,11−3t2,3<t≤113,0,其他.f(-3t+9)=\begin{cases} 1,&\dfrac83\le t\le3,\\ \dfrac{11-3t}{2},&3<t\le\dfrac{11}{3},\\ 0,&\text{其他}. \end{cases}

两种可行顺序是“先平移、再反褶与压缩”和“先反褶与压缩、再平移”；只要始终把完整自变量一并变换，结果相同。

第 5 题

依次为

f(t0),e−1+1,0,1.f(t_0),\qquad e^{-1}+1,\qquad0,\qquad1.

第 6 题

依次为：不正交、正交、不正交。例如

∫02x dx=2≠0,∫0π/2cos⁡tcos⁡2t dt=13≠0.\int_0^2x\,dx=2\ne0, \qquad \int_0^{\pi/2}\cos t\cos2t\,dt=\frac13\ne0.

第 7 题

fe(t)=cosh⁡t+t2,fo(t)=sinh⁡t−t.f_{\mathrm e}(t)=\cosh t+t^2, \qquad f_{\mathrm o}(t)=\sinh t-t.

任意信号的奇偶分解为

fe(t)=f(t)+f(−t)2,fo(t)=f(t)−f(−t)2.f_{\mathrm e}(t)=\frac{f(t)+f(-t)}2, \qquad f_{\mathrm o}(t)=\frac{f(t)-f(-t)}2.

由 cos⁡2t=(1+cos⁡2t)/2\cos^2t=(1+\cos2t)/2，直流分量为 1/21/2，交流分量为 cos⁡2t/2\cos2t/2。

第 8 题

让误差分别与 1,t,t21,t,t^2 正交，解正规方程得

a=154(e−7e−1),b=3e−1,c=14(−3e+33e−1).a=\frac{15}{4}\left(e-7e^{-1}\right), \qquad b=3e^{-1}, \qquad c=\frac14\left(-3e+33e^{-1}\right).

第 9 题

正交投影系数为

c1=4π,c2=0,c3=43π,c4=0.c_1=\frac4\pi, \qquad c_2=0, \qquad c_3=\frac4{3\pi}, \qquad c_4=0.

只取第 1 项或取到第 2 项时，均方误差均为

1−8π2.1-\frac8{\pi^2}.

取到第 3 项或第 4 项时，均方误差均为

1−8π2−89π2.1-\frac8{\pi^2}-\frac8{9\pi^2}.

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