2023–2024 学年第 3 次作业：拉普拉斯变换与连续系统

#作业

我按 2023–2024 学年 HW3.pdf 与 HW3 参考答案.pdf 整理，共三道大题。

1. 单边拉普拉斯变换

求下列信号的单边拉普拉斯变换，并写出收敛域：

  1. (at2+bt+c)e−dt(at^2+bt+c)e^{-dt}；
  2. (1+2t)e2tsin⁡t+te2tcos⁡t(1+2t)e^{2t}\sin t+t e^{2t}\cos t；
  3. (e−t−1)/t(e^{-t}-1)/t；
  4. sin⁡(t−π)\sin(t-\pi)；
  5. sin⁡(t−π)u(t−π)\sin(t-\pi)u(t-\pi)；
  6. sin⁡t u(t−π)\sin t\,u(t-\pi)。

2. 初值与终值

对下列 F(s)F(s)，分别求对应信号的初值和终值；若不能使用定理，说明原因：

  1. 2s+5147s2+67s\dfrac{2s+51}{47s^2+67s}；
  2. 3s(s−2)\dfrac3{s(s-2)}；
  3. 2242(s+1)(s2+4)\dfrac{2242}{(s+1)(s^2+4)}；
  4. 5s2\dfrac5{s^2}。

3. 系统性质与冲激匹配

3.1 判断系统性质

判断下列系统是否因果、线性、时不变：

  1. y(t)=tx(t)y(t)=tx(t)；
  2. y(t)=x(t)+x(t−1)y(t)=x(t)+x(t-1)；
  3. y(t)=sin⁡(x(t))y(t)=\sin(x(t))；
  4. y(t)=tx(t)x2(t−1)y(t)=tx(t)x^2(t-1)。

3.2 LTI 系统

说明 LTI 的英文全称，并简述采用 LTI 模型的好处。

3.3 冲激函数匹配法

已知 r(0−)=r′(0−)=0r(0^-)=r'(0^-)=0，求：

  1. r′′+r′+r=δ(t)+δ′(t)r''+r'+r=\delta(t)+\delta'(t)；
  2. r′′+2r′+r=δ(t)r''+2r'+r=\delta(t)；
  3. r′′+2r′+r=δ′(t)r''+2r'+r=\delta'(t)。
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第 1 题

依次为

2a(s+d)3+b(s+d)2+cs+d,ℜ(s)>−d,\frac{2a}{(s+d)^3}+\frac b{(s+d)^2}+\frac c{s+d}, \qquad \Re(s)>-d, 2s(s−2)[(s−2)2+1]2,ℜ(s)>2,\frac{2s(s-2)}{[(s-2)^2+1]^2}, \qquad \Re(s)>2, ln⁡s−ln⁡(s+1),ℜ(s)>0,\ln s-\ln(s+1), \qquad \Re(s)>0, −1s2+1,ℜ(s)>0,-\frac1{s^2+1}, \qquad \Re(s)>0, e−πss2+1,ℜ(s)>0,\frac{e^{-\pi s}}{s^2+1}, \qquad \Re(s)>0, −e−πss2+1,ℜ(s)>0.-\frac{e^{-\pi s}}{s^2+1}, \qquad \Re(s)>0.

第 2 题

  1. 初值 2/472/47，终值 51/6751/67；
  2. 初值 0；sF(s)=3/(s−2)sF(s)=3/(s-2) 在右半平面有极点，终值定理不适用，终值不存在；
  3. 初值 0；sF(s)sF(s) 在虚轴上有极点，终值不存在；
  4. 初值 0；对应斜坡项，终值发散。

第 3.1 题

依次为：

  1. 因果、线性、时变；
  2. 因果、线性、时不变；
  3. 因果、非线性、时不变；
  4. 因果、非线性、时变。

第 3.2 题

LTI 是 Linear Time-Invariant，即线性时不变。线性使叠加原理成立，时不变使系统对任意时移采用同一规律；两者结合后，系统可由冲激响应完整表征，输出可统一写成卷积，并可在傅里叶域、拉普拉斯域或 zz 域中转化为乘法处理。

第 3.3 题

冲激匹配与齐次方程求解给出

r1(t)=e−t/2[cos⁡(32t)+33sin⁡(32t)]u(t),r_1(t)=e^{-t/2}\left[ \cos\left(\frac{\sqrt3}{2}t\right) +\frac{\sqrt3}{3}\sin\left(\frac{\sqrt3}{2}t\right) \right]u(t), r2(t)=te−tu(t),r_2(t)=te^{-t}u(t), r3(t)=(1−t)e−tu(t).r_3(t)=(1-t)e^{-t}u(t).

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