第 6 讲：连续时间系统与微分方程分析

系统把输入 $x(t)$ 映射为输出 $y(t)=\mathcal T\{x(t)\}$。一张框图、一个微分方程、一条输入输出关系或一个冲激响应，都是系统的不同表示。

系统互联

• 串联：总系统为 $\mathcal T_2\mathcal T_1$；LTI 情况下冲激响应卷积，变换域相乘；
• 并联：输出相加；LTI 情况下冲激响应相加；
• 反馈：输出的一部分经反馈环节回到输入端。

在变换域，负反馈系统常写成

$$H_{\mathrm{cl}}(s)= \frac{G(s)}{1+G(s)F(s)}.$$

符号取决于求和点定义，不能脱离框图死背分母正负。

系统性质怎样检验

线性要求齐次与可加：

$$\mathcal T\{a x_1+b x_2\} =a\mathcal T\{x_1\}+b\mathcal T\{x_2\}.$$

时不变要求若 $x(t)\to y(t)$，则

$$x(t-t_0)\to y(t-t_0).$$

检验时变性的稳妥方法是分别计算“先移输入再过系统”和“先过系统再移输出”，然后比较。

因果系统在时刻 $t_0$ 的输出只依赖 $t\le t_0$ 的输入。含 $x(t+1)$ 的系统通常非因果；含输入导数不一定非因果，因为导数可由当前附近的极限定义，需按模型语境判断。

BIBO 稳定要求任意有界输入产生有界输出。非线性系统不能直接用冲激响应绝对可积判据。

线性常系数微分方程

连续 LTI 系统常写成

$$\sum_{k=0}^{N}a_k\frac{d^ky}{dt^k} =\sum_{m=0}^{M}b_m\frac{d^mx}{dt^m}.$$

系统完整响应分为

$$y(t)=y_{\mathrm{zi}}(t)+y_{\mathrm{zs}}(t),$$

其中零输入响应由初始储能产生，零状态响应由输入产生。

零输入响应解齐次方程。设特征多项式

$$a_N\lambda^N+\cdots+a_1\lambda+a_0=0.$$

每个不同根 $\lambda_i$ 产生 $e^{\lambda_it}$ 模式；$r$ 重根产生

$$(C_0+C_1t+\cdots+C_{r-1}t^{r-1})e^{\lambda t}.$$

复共轭根组合为指数包络的正余弦。

零状态响应与冲激响应

冲激响应 $h(t)$ 是系统在零初始状态下对 $\delta(t)$ 的输出。阶跃响应 $g(t)$ 是对 $u(t)$ 的输出，二者满足

$$h(t)=\frac{dg(t)}{dt}$$

在广义函数意义下成立。

把任意输入写成连续冲激叠加

$$x(t)=\int x(\tau)\delta(t-\tau)\,d\tau,$$

利用线性和时不变性，得到

$$y_{\mathrm{zs}}(t)=x(t)*h(t).$$

冲激条件与跳变

当输入含冲激或其导数时，输出及其导数可能跳变。可在 $0^-$ 到 $0^+$ 的小区间对微分方程积分，比较各阶奇异项，确定初始跳变量。

不能把含冲激的方程只当普通函数在 $t>0$ 上解；那样会漏掉冲激引起的状态突变。

LTI 系统的判据

连续 LTI 系统：

• 因果 $\Longleftrightarrow h(t)=0$（$t<0$）；
• BIBO 稳定 $\Longleftrightarrow \int|h(t)|dt<\infty$；
• 无记忆 $\Longleftrightarrow h(t)=K\delta(t)$；
• 可逆 $\Longleftrightarrow$ 存在 $h^{-1}$ 使 $h*h^{-1}=\delta$。

这些结论只需看 $h$，正是 LTI 假设的威力。