第 7 讲：连续卷积与零状态响应

卷积不是一条孤立公式，而是“系统对每个移位冲激的响应按输入强度叠加”的结果。对 LTI 系统，

$$y(t)=x(t)*h(t) =\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)h(t-\tau)\,d\tau.$$

图解四步

固定输出时刻 $t$，把积分变量统一看成 $\tau$：

1. 保持 $x(\tau)$；
2. 把 $h(\tau)$ 反转成 $h(-\tau)$；
3. 平移为 $h(t-\tau)$；
4. 两函数相乘，对重叠区域关于 $\tau$ 积分。

随着 $t$ 改变，重叠端点的关系会发生变化，因此答案通常分段。关键不是画得漂亮，而是找出所有“边缘刚接触”的 $t$ 值。

区间法

若 $x$ 的支撑集为 $[a,b]$，$h$ 的支撑集为 $[c,d]$，则卷积支撑集为

$$[a+c,b+d].$$

积分范围是

$$\tau\in[a,b]\cap[t-d,t-c],$$

即

$$\max(a,t-d)\le\tau\le\min(b,t-c).$$

只要下界不超过上界就有重叠。这个写法比凭图猜分段更稳。

矩形脉冲的几何意义

两个单位高度矩形卷积，积分值就是重叠长度：

• 刚接触时为 0；
• 重叠增加时线性上升；
• 若一段完全覆盖另一段，会出现平台；
• 离开时线性下降。

所以等宽矩形卷积得到三角形，不等宽则可能得到梯形。

基本性质

$$x*h=h*x$$

（交换律），

$$(x*h)*g=x*(h*g)$$

（结合律），

$$x*(h+g)=x*h+x*g$$

（分配律）。

冲激是卷积单位元：

$$x(t)*\delta(t-t_0)=x(t-t_0).$$

与阶跃卷积是从负无穷到当前时刻的积分：

$$x*u=\int_{-\infty}^{t}x(\tau)d\tau.$$

因此

$$\frac d{dt}(x*u)=x.$$

微分与积分性质

在条件允许时，

$$\frac d{dt}(x*h) =x'*h=x*h'.$$

可以把导数放到更容易处理的一侧。分段线性信号若先多次微分变成冲激串，完成简单卷积后再积分恢复，常比直接分段积分省事。

变换域中的卷积

傅里叶与拉普拉斯域都有

$$x*h\longleftrightarrow XH.$$

反过来，时域相乘对应频域卷积；CTFT 规范下多一个 $1/(2\pi)$：

$$x(t)h(t) \longleftrightarrow \frac1{2\pi}X(\omega)*H(\omega).$$

当时域卷积难、变换对简单时，先相乘再逆变换；当频域卷积难、时域支撑短时，直接分段积分。

因果信号的简化

若 $x,h$ 都因果，

$$y(t)=\int_0^t x(\tau)h(t-\tau)d\tau, \qquad t\ge0.$$

但只有确认双方均在负时间为零后才能把积分上下限改成 $0,t$。

常见错误

• 把 $h(t-\tau)$ 写成 $h(\tau-t)$，漏掉反转；
• 积分变量和输出变量混写；
• 只算一个重叠阶段，没有找全分段；
• 以为卷积等于逐点相乘；
• 忘记冲激的尺度因子；
• 用频域卷积定理时漏掉 $1/(2\pi)$。