第 2 讲：正交函数集与信号分解

傅里叶分析的本质不是“背三角公式”，而是把函数当作无限维向量，在一组正交基上做投影。

函数内积

在区间 $[a,b]$ 上定义

\langle f,g\rangle =\int_a^b f(t)g^*(t)\,dt.

它满足共轭对称、线性与正定性。函数范数为

\|f\|=\sqrt{\langle f,f\rangle}.

若 $\langle f,g\rangle=0$ ，称二者正交。物理上，两个正交分量在能量意义下互不混合。

函数集 $\{\phi_k\}$ 若满足

\langle\phi_k,\phi_m\rangle= \begin{cases} 0,&k\ne m,\\ K_k,&k=m, \end{cases}

就是正交集。若 $K_k=1$ ，则为标准正交集。

在任意长度为 $T_0$ 的区间上，

e^{jk\omega_0t},\qquad \omega_0=\frac{2\pi}{T_0}

构成正交集。三角函数组 $1,\cos(k\omega_0t),\sin(k\omega_0t)$ 也是同一空间的另一种表示。

用正交函数的线性组合逼近 $x(t)$ ：

\hat x_N(t)=\sum_{k=1}^{N}c_k\phi_k(t).

令误差能量 $\|x-\hat x_N\|^2$ 最小，得到

\boxed{ c_k=\frac{\langle x,\phi_k\rangle} {\langle\phi_k,\phi_k\rangle} }.

这个结果与有限维向量投影完全一样。每个系数只需分别计算，不必联立方程，正交性正是计算简化的来源。

投影误差与已选子空间正交：

\langle x-\hat x_N,\phi_k\rangle=0.

因此在所有由这 $N$ 个基函数组成的近似中，投影的均方误差最小。增加基函数只会使误差不增。

Bessel 不等式：

\sum_k\frac{|\langle x,\phi_k\rangle|^2} {\|\phi_k\|^2}\le\|x\|^2.

若函数集完备，等号成立，得到 Parseval 关系：原信号总能量等于各正交分量能量之和。

正交集“完备”意味着不存在一个非零函数同时与所有基函数正交，等价地，任意平方可积信号都能以其线性组合在均方意义下任意逼近。

有限个函数不可能完备描述无限维空间；傅里叶级数需要所有整数次谐波。实际截断只是一种有限维近似。

给定线性无关函数 $f_1,f_2,\ldots$ ，可逐步减去已有方向的投影：

\phi_1=f_1,

\phi_k=f_k-\sum_{i=1}^{k-1} \frac{\langle f_k,\phi_i\rangle} {\langle\phi_i,\phi_i\rangle}\phi_i.

这与向量的 Gram–Schmidt 完全相同。课程后续的正交变换、频谱系数与最小均方误差都建立在这一思想上。