第 3 讲：连续周期信号的傅里叶级数

周期信号可以拆成基频及其整数倍频率的正弦分量。傅里叶级数系数回答两个问题：有哪些谐波，每个谐波有多大、相位是多少。

三种等价形式

设周期 $T_0$，$\omega_0=2\pi/T_0$。

三角形式：

$$x(t)=\frac{a_0}{2} +\sum_{k=1}^{\infty} [a_k\cos(k\omega_0t)+b_k\sin(k\omega_0t)],$$ $$a_k=\frac2{T_0}\int_{T_0}x(t)\cos(k\omega_0t)\,dt,$$ $$b_k=\frac2{T_0}\int_{T_0}x(t)\sin(k\omega_0t)\,dt.$$

幅相形式把同频的正余弦合并为 $A_k\cos(k\omega_0t+\phi_k)$。

复指数形式最紧凑：

$$x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}C_ke^{jk\omega_0t},$$ $$C_k=\frac1{T_0}\int_{T_0} x(t)e^{-jk\omega_0t}\,dt.$$

关系为

$$C_k=\frac{a_k-jb_k}{2}\quad(k>0), \qquad C_{-k}=C_k^*$$

对实信号成立。

对称性先于积分

• 实偶信号：$b_k=0$，$C_k$ 为实偶序列；
• 实奇信号：$a_k=0$，$C_k$ 为纯虚奇序列；
• 半波对称 $x(t+T_0/2)=-x(t)$：只有奇次谐波；
• 半波重复 $x(t+T_0/2)=x(t)$：只有偶次谐波与直流。

先画一个周期并检查这些对称性，往往能省掉一半以上计算。

矩形波示例的通用结构

对每周期内宽度 $\tau$、幅值 $A$ 的中心矩形脉冲，

$$C_k= \frac{A\tau}{T_0} \operatorname{sinc}\left(\frac{k\omega_0\tau}{2}\right),$$

其中这里的 $\operatorname{sinc}(x)=\sin x/x$。离散谱线的包络是 sinc；脉冲越窄，频谱主瓣越宽，体现时频扩展的互补。

若脉冲不以原点为中心，时移只给每个系数乘相位因子 $e^{-jk\omega_0t_0}$，幅度谱不变。

收敛与间断点

满足 Dirichlet 条件的分段光滑周期信号，其傅里叶级数在连续点收敛到 $x(t)$，在跳变点收敛到左右极限平均：

$$\frac{x(t^-)+x(t^+)}2.$$

有限项部分和在跳变附近出现 Gibbs 振荡。增加谐波会让振荡集中到更窄区域，但最大过冲约保持为跳变量的固定比例。

课件把 1 项、2 项和 3 项截断结果叠在方波上：项数增加后，平坦段和跳变位置都更接近原信号，但跳变附近的波纹不会简单消失。

有限项逼近与均方误差

保留 $|k|\le N$ 的级数是该谐波子空间中的最佳均方逼近。一个周期内 Parseval 关系为

$$\frac1{T_0}\int_{T_0}|x(t)|^2dt =\sum_{k=-\infty}^{\infty}|C_k|^2.$$

截断误差能量等于被删去系数能量之和：

$$\varepsilon_N^2= \sum_{|k|>N}|C_k|^2.$$

这让“不显式合成波形，只由系数算误差”成为可能。

频谱怎样读

横轴是 $k\omega_0$，幅度谱为 $|C_k|$，相位谱为 $\arg C_k$。周期信号的谱是离散线谱；基频由周期决定，谱线包络由单周期波形决定。

不要把复指数系数 $C_k$ 的双边幅度，直接当作三角形式中正频率余弦的幅值。实信号的一对 $\pm k$ 谱线共同组成一个实正弦分量。