第 1 讲：信号分类、基本信号与时域运算

信号是承载信息的函数。连续时间信号 $x(t)$ 对连续自变量定义；离散时间信号 $x[n]$ 只在整数序号上定义。它们的公式可能相似，但积分与求和、冲激与单位样值、周期条件都不同。

周期性

连续信号若存在最小正数 $T_0$ 使

$$x(t+T_0)=x(t),$$

则为周期信号。离散序列要求存在正整数 $N_0$：

$$x[n+N_0]=x[n].$$

连续正弦 $\cos(\omega_0t+\phi)$ 总是周期的，基本周期 $2\pi/|\omega_0|$。离散正弦 $\cos(\Omega_0n+\phi)$ 只有在 $\Omega_0/(2\pi)$ 为有理数时才周期。

多个周期信号之和只有在各周期之比均为有理数时才周期，基本周期是所有分量的共同最小周期。

能量与平均功率

连续信号能量与平均功率：

$$E=\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^2dt,$$ $$P=\lim_{T\to\infty}\frac1{2T} \int_{-T}^{T}|x(t)|^2dt.$$

离散情形把积分换成求和。有限能量、零平均功率的是能量信号；有限非零平均功率、通常能量无穷的是功率信号。非零周期信号通常属于功率信号，有限持续时间且平方可积的脉冲通常属于能量信号。

奇偶分解

任何信号都可唯一拆成偶部与奇部：

$$x_e(t)=\frac{x(t)+x(-t)}2,\qquad x_o(t)=\frac{x(t)-x(-t)}2.$$

复信号还可分解共轭偶、共轭奇部分。奇偶性会显著简化傅里叶系数和变换积分。

基本连续信号

• 复指数 $e^{st}=e^{\sigma t}e^{j\omega t}$：同时描述增长/衰减与振荡；
• 单位阶跃 $u(t)$：$t>0$ 为 1，$t<0$ 为 0；
• 单位冲激 $\delta(t)$：普通函数意义下不存在，但面积为 1；
• 符号函数 $\operatorname{sgn}(t)=2u(t)-1$。

阶跃与冲激的关系：

$$\frac{d}{dt}u(t)=\delta(t),\qquad u(t)=\int_{-\infty}^{t}\delta(\tau)d\tau.$$

冲激的尺度性质：

$$\delta(at)=\frac1{|a|}\delta(t).$$

基本离散信号

单位样值

$$\delta[n]= \begin{cases}1,&n=0,\\0,&n\ne0,\end{cases}$$

单位阶跃 $u[n]=1$（$n\ge0$）。二者满足

$$\delta[n]=u[n]-u[n-1].$$

任意序列都能由移位样值展开：

$$x[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]\delta[n-k].$$

这是离散卷积公式的出发点。

自变量运算

处理 $x(at+b)$ 时先找关键点映射。可改写为

$$x\left(a\left(t+\frac ba\right)\right).$$

尺度和反转决定形状，平移决定位置。最稳的方法是令内部变量等于原信号的各个拐点，逐一解出新时间点，而不是凭“左加右减”猜。

连续时间允许任意尺度；离散序列的压缩 $x[2n]$ 会丢弃奇数样本，扩展需要明确新插入位置取什么值，不能照搬连续图像。

反转不是把图形上下翻，而是让每个横坐标由 $t$ 变成 $-t$。下面的课件图保留了同一组拐点在反转前后的对应位置。

信号的微分与差分

连续信号的跳变在微分后产生冲激，其强度等于跳变量。离散系统常用一阶差分

$$\Delta x[n]=x[n]-x[n-1].$$

阶跃经差分得到单位样值。看到分段常值信号，先写成若干移位阶跃，微分或差分会比逐段计算简单。