第 2 讲：几何变换、旋转与四元数

几何变换可以看成一个函数：给每个点安排一个新位置。图形学需要用同一套机制摆放模型、移动相机、做动画和建立层级结构，所以会尽量把变换写成矩阵。

1. 二维线性变换

二维缩放和绕原点旋转为

S(sx,sy)=(sx00sy),R(θ)=(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ).S(s_x,s_y)= \begin{pmatrix}s_x&0\\0&s_y\end{pmatrix}, \qquad R(\theta)= \begin{pmatrix} \cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta \end{pmatrix}.

反射改变某个轴的符号，错切让一个坐标随另一个坐标线性偏移。这些矩阵都保留原点，并满足

T(au+bv)=aT(u)+bT(v).T(a\mathbf u+b\mathbf v)=aT(\mathbf u)+bT(\mathbf v).

平移不保留原点，所以单靠 2×22\times2 矩阵表示不了。

2. 齐次坐标把平移装进矩阵

把二维点写成 (x,y,1)T(x,y,1)^T，平移便可写成

T(tx,ty)=(10tx01ty001).T(t_x,t_y)= \begin{pmatrix} 1&0&t_x\\ 0&1&t_y\\ 0&0&1 \end{pmatrix}.

方向向量写成 (vx,vy,0)T(v_x,v_y,0)^T，因此平移不会改变方向。三维中同理，用四维齐次坐标和 4×44\times4 矩阵。

3. 复合变换最容易错的是顺序

列向量约定下，若先做 AA、再做 BB，结果是

p′=BAp.\mathbf p'=BA\mathbf p.

离点最近的矩阵最先作用。例如绕任意中心 c\mathbf c 旋转：

p′=T(c)R(θ)T(−c)p.\mathbf p'=T(\mathbf c)R(\theta)T(-\mathbf c)\mathbf p.

读法是：先把中心移到原点，再旋转，最后移回去。复合矩阵的逆会倒序：

(ABC)−1=C−1B−1A−1.(ABC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1}.

调试时不要死背 API 的乘法顺序，拿一个简单点代进去，看它究竟先被谁作用。

4. 变换的层级

  • 刚体变换：保长度和角度，只含旋转、平移及可能的镜像。
  • 相似变换：再允许统一缩放，角度仍保持。
  • 线性变换：保持线性组合，原点不动。
  • 仿射变换：在线性变换上加平移，平行线仍平行。
  • 投影变换：还允许透视效果，平行线可能汇聚到消失点。

不是“越后面越好”，而是允许的自由度越来越多、保留的几何性质越来越少。

5. 三维旋转为什么更麻烦

绕 x,y,zx,y,z 轴的旋转都能写成 3×33\times3 矩阵，但三维旋转通常不可交换：

RxRy≠RyRx.R_xR_y\ne R_yR_x.

欧拉角用三次轴旋转描述姿态，直观却会发生 Gimbal Lock：某些姿态下两个旋转轴重合，系统失去一个独立自由度。这不是浮点误差，而是参数化本身的奇异点。

轴角表示用单位轴 a^\widehat{\mathbf a} 和角度 θ\theta 描述旋转。Rodrigues 公式为

R=cos⁡θI+(1−cos⁡θ)a^a^T+sin⁡θ[a^]×,R= \cos\theta I+ (1-\cos\theta)\widehat{\mathbf a}\widehat{\mathbf a}^T+ \sin\theta[\widehat{\mathbf a}]_\times,

其中 [a^]×v=a^×v[\widehat{\mathbf a}]_\times\mathbf v=\widehat{\mathbf a}\times\mathbf v。

6. 从复数到四元数

二维单位复数 q=cos⁡θ+isin⁡θq=\cos\theta+i\sin\theta 可表示平面旋转，复数相乘对应旋转复合。四元数把它推广到三维：

q=s+xi+yj+zk,q=s+x\mathbf i+y\mathbf j+z\mathbf k,

并满足 i2=j2=k2=ijk=−1\mathbf i^2=\mathbf j^2=\mathbf k^2=\mathbf{ijk}=-1。乘法不交换，这恰好符合三维旋转的性质。

绕单位轴 a^\widehat{\mathbf a} 旋转 θ\theta 的单位四元数是

q=(cos⁡θ2,a^sin⁡θ2).q= \left( \cos\frac\theta2, \widehat{\mathbf a}\sin\frac\theta2 \right).

把向量 p\mathbf p 看成纯四元数 (0,p)(0,\mathbf p)，旋转结果为

p′=qpq−1.p'=qpq^{-1}.

单位四元数的逆等于共轭。qq 与 −q-q 表示同一个空间旋转，这也是插值时需要选较短路径的原因。

7. 旋转插值不能直接插矩阵

逐元素线性插值两个旋转矩阵，通常会破坏列向量的正交性。单位四元数位于四维单位球面上，Slerp 沿球面大圆匀速插值：

Slerp⁡(q0,q1;t)=sin⁡((1−t)Ω)sin⁡Ωq0+sin⁡(tΩ)sin⁡Ωq1,\operatorname{Slerp}(q_0,q_1;t) = \frac{\sin((1-t)\Omega)}{\sin\Omega}q_0 + \frac{\sin(t\Omega)}{\sin\Omega}q_1,

其中 cos⁡Ω=q0⋅q1\cos\Omega=q_0\cdot q_1。若点积为负，通常先把其中一个四元数取负，走更短的弧。

一句话概括：欧拉角适合人调参数，旋转矩阵适合直接作用于向量，四元数适合存储姿态和连续插值。

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