第 3 讲：坐标系、相机与投影

“相机在看物体”只是直觉。数学上并没有真的搬动一台相机，而是不断换坐标系，最终把三维点映到二维屏幕。

1. 换坐标系到底在算什么

设新坐标系的三条基向量为 $\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w$，原点为 $\mathbf q$。从新坐标到旧坐标可写成

$$C= \begin{pmatrix} u_x&v_x&w_x&q_x\\ u_y&v_y&w_y&q_y\\ u_z&v_z&w_z&q_z\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}.$$

若已知一个点在旧坐标中的表示，要得到它在新坐标中的坐标，就用 $C^{-1}$。这里常见的混淆是：

• 变换几何：真的把点移动了。
• 变换坐标：点没动，只换一把尺子描述。

两者矩阵互为逆，但数字可能长得很像。

2. 物体、世界与相机坐标

模型通常在自己的局部坐标里建好，模型矩阵 $M$ 把它摆进世界。每个物体可以有不同的 $M$，世界坐标则让所有物体共享同一参照。

相机矩阵 $C$ 表示“相机局部坐标怎样进入世界”；视图矩阵要把世界改写到相机坐标，因此

$$V=C^{-1}.$$

给定相机位置 $\mathbf e$、观察目标 $\mathbf c$ 和参考上方向 $\mathbf{up}$，OpenGL 风格相机可取

$$\mathbf z= \frac{\mathbf e-\mathbf c}{\|\mathbf e-\mathbf c\|}, \quad \mathbf x= \frac{\mathbf{up}\times\mathbf z}{\|\mathbf{up}\times\mathbf z\|}, \quad \mathbf y=\mathbf z\times\mathbf x.$$

相机朝本地 $-z$ 方向看。把这组基和相机位置组成 $C$ 后求逆，或直接利用旋转矩阵转置，就得到 LookAt 视图矩阵。

3. 法线为什么用逆转置

假设切向量 $\mathbf t$ 与法线 $\mathbf n$ 正交，即 $\mathbf t^T\mathbf n=0$。几何变换后切向量为 $M\mathbf t$。要让新法线 $\mathbf n'$ 仍满足

$$(M\mathbf t)^T\mathbf n'=0,$$

可推出

$$\mathbf n'=(M^{-1})^T\mathbf n.$$

平移对方向无效；纯旋转时逆转置又等于旋转本身，所以错误往往要等到非均匀缩放才暴露。

4. 正交投影

正交投影把长方体视景体

$$[l,r]\times[b,t]\times[n,f]$$

平移到原点并缩放到标准立方体。它保留平行关系，远近不改变物体大小，适合工程图、界面和某些阴影计算。

视口宽高比若与投影视景体不一致，最终图像会被拉伸。投影矩阵负责“看多大范围”，视口负责“画到屏幕哪一块”，两者不要混在一起。

5. 透视投影

透视投影沿穿过相机中心的射线投到近裁剪面，因此会出现近大远小和平行线汇聚。课件的推导先把截锥体挤压成长方体，再复用正交投影。

关键不是背整张矩阵，而是理解齐次分量的作用：投影矩阵让裁剪坐标的 $w_c$ 与深度相关，之后做

$$(x_{ndc},y_{ndc},z_{ndc}) = \left( \frac{x_c}{w_c}, \frac{y_c}{w_c}, \frac{z_c}{w_c} \right).$$

这一步叫透视除法。越远的点通常除以越大的量，屏幕投影因此越小。在透视除法之前进行齐次裁剪，可以正确处理跨过相机或近裁剪面的图元。

6. 从 NDC 到屏幕

透视除法后，点位于标准化设备坐标。把 $[-1,1]^2$ 映到左下角 $(t_x,t_y)$、宽高为 $W,H$ 的视口：

$$x_s=t_x+\frac{x_{ndc}+1}{2}W, \qquad y_s=t_y+\frac{y_{ndc}+1}{2}H.$$

还要留意屏幕坐标原点在左下还是左上；不同图形 API 和图像库可能不同。

7. 一条点的完整路径

列向量约定下：

$$\mathbf p_{clip}=PVM\mathbf p_{object}.$$

然后依次做裁剪、透视除法、视口映射和光栅化。调试一个“看不见”的物体时，按顺序检查：

1. 模型是否真的在世界中。
2. 相机朝向是否正确，up 是否与视线平行。
3. near、far、FOV 和宽高比是否合理。
4. 裁剪坐标是否落在视锥内，$w$ 的符号是否正常。
5. 深度测试、背面剔除和视口是否把结果丢掉。

逐坐标系检查，比盲目改矩阵符号有效得多。