第 1 讲：图形学里的线性代数

图形学里的线性代数不是一套独立的计算题，而是后面所有算法共用的语言。位置、方向、颜色、法线、相机朝向，最后都要变成向量；“把物体摆过去”和“把相机转过来”最后都要变成矩阵。

1. 点和向量不是一回事

一个三维向量

v=(vx,vy,vz)T\mathbf v=(v_x,v_y,v_z)^T

编码方向和长度。它可以表示位移、速度、光线方向或法线。点表示“在哪里”，向量表示“往哪走多少”。二者都写成三个数，但几何意义不同；这一区别会在齐次坐标里变成点的 w=1w=1、方向的 w=0w=0。

向量长度与归一化分别为

∥v∥=vx2+vy2+vz2,v^=v∥v∥.\|\mathbf v\|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}, \qquad \widehat{\mathbf v}=\frac{\mathbf v}{\|\mathbf v\|}.

归一化只保留方向。零向量不能归一化，代码里遇到两点重合、三角形退化或法线长度接近零时，需要先判断再除。

向量加法对应首尾相接，数乘改变长度并可能反转方向。线性组合 au+bva\mathbf u+b\mathbf v 是插值、坐标展开和重心坐标的基础。

2. 点积：问两个方向有多一致

点积既可按分量计算，也可按夹角理解：

u⋅v=uxvx+uyvy+uzvz=∥u∥ ∥v∥cos⁡θ.\mathbf u\cdot\mathbf v =u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z =\|\mathbf u\|\,\|\mathbf v\|\cos\theta.
  • 点积为正：夹角小于 90∘90^\circ，大体同向。
  • 点积为零：正交。
  • 点积为负：大体反向。

把 u\mathbf u 投影到 v\mathbf v 上：

proj⁡vu=u⋅vv⋅vv.\operatorname{proj}_{\mathbf v}\mathbf u =\frac{\mathbf u\cdot\mathbf v}{\mathbf v\cdot\mathbf v}\mathbf v.

图形学里它反复出现：判断面朝不朝向相机、计算 Lambert 漫反射、把运动分解到相机的前后左右方向。

3. 叉积：得到垂直方向

三维叉积

u×v=(uyvz−uzvyuzvx−uxvzuxvy−uyvx)\mathbf u\times\mathbf v= \begin{pmatrix} u_yv_z-u_zv_y\\ u_zv_x-u_xv_z\\ u_xv_y-u_yv_x \end{pmatrix}

垂直于 u\mathbf u 和 v\mathbf v，长度为

∥u×v∥=∥u∥ ∥v∥sin⁡θ.\|\mathbf u\times\mathbf v\| =\|\mathbf u\|\,\|\mathbf v\|\sin\theta.

它满足 u×v=−(v×u)\mathbf u\times\mathbf v=-(\mathbf v\times\mathbf u)，所以顶点绕序会决定法线方向。给三角形顶点 A,B,CA,B,C，常用

n=(B−A)×(C−A)\mathbf n=(B-A)\times(C-A)

求法线。交换 B,CB,C 后法线翻转，这正是背面剔除依赖顺时针或逆时针约定的原因。

二维判左右也可看作叉积的 zz 分量。对有向边 A→BA\to B 和点 PP，

EAB(P)=(Bx−Ax)(Py−Ay)−(By−Ay)(Px−Ax).E_{AB}(P)=(B_x-A_x)(P_y-A_y)-(B_y-A_y)(P_x-A_x).

三个边函数同号，就说明点落在同一绕序的三角形内部或边界上。

4. 正交坐标架怎样搭出来

一个三维正交归一坐标架由三个两两垂直、长度为 11 的向量组成。已知大致的观察方向 a\mathbf a 和“向上”参考 b\mathbf b，可以这样构造：

z=a∥a∥,x=b×z∥b×z∥,y=z×x.\mathbf z=\frac{\mathbf a}{\|\mathbf a\|}, \quad \mathbf x=\frac{\mathbf b\times\mathbf z}{\|\mathbf b\times\mathbf z\|}, \quad \mathbf y=\mathbf z\times\mathbf x.

这实际上是一次 Gram–Schmidt 正交化。若 a\mathbf a 与 b\mathbf b 平行，叉积为零，坐标架无法建立；相机的 up 方向因此不能与视线共线。

把 x,y,z\mathbf x,\mathbf y,\mathbf z 作为矩阵的列，就得到从局部坐标到参考坐标的旋转关系。采用行向量还是列向量、基向量放行还是放列，必须全程统一。

5. 矩阵表示变换

m×nm\times n 矩阵可把 nn 维向量映射到 mm 维，矩阵乘法为

(AB)ij=∑kAikBkj.(AB)_{ij}=\sum_k A_{ik}B_{kj}.

最重要的性质是

A(BC)=(AB)C,AB≠BA 通常成立.A(BC)=(AB)C, \qquad AB\ne BA\ \text{通常成立}.

结合律允许预先合并一串变换；不可交换说明“先旋转再平移”和“先平移再旋转”不是一回事。

单位矩阵 II 不改变向量。逆矩阵满足 A−1A=IA^{-1}A=I，表示撤销一个可逆变换。转置满足

(AB)T=BTAT.(AB)^T=B^TA^T.

正交矩阵的列向量组成正交坐标架，因此

R−1=RT,R^{-1}=R^T,

这让旋转矩阵求逆特别便宜。

6. 把这一讲带到后面

  • 点积：方向有多一致、投影有多长。
  • 叉积：垂直方向、朝向和面积。
  • 正交基：换坐标系、搭相机。
  • 矩阵：把同一种几何操作批量作用到所有点。
  • 逆矩阵：从一个坐标系退回另一个坐标系。

把这些几何意义抓住，比只记分量公式更不容易写反。

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