第 7 次作业 · 12 月 4 日 | L.D.J 的私家工坊

我当时提交的文件是 李东骏12_4交.pdf。我按提交稿中的印刷题干转写题目，并按自己的手写作答核对答案、补足证明步骤。

第 2 题

独立射击，每次命中概率为 $p$ ，一直射到第二次命中为止。 $X$ 表示第一次命中时的射击次数， $Y$ 表示总射击次数。求联合分布、边际分布与两个条件分布。

查看第 2 题答案

对 $1\le x<y$ ，第 $x,y$ 次命中，其余 $y-2$ 次未命中：

P(X=x,Y=y)=p^2(1-p)^{y-2}.

边际分布为

P(X=x)=p(1-p)^{x-1}, \qquad x=1,2,\ldots,

P(Y=y)=(y-1)p^2(1-p)^{y-2}, \qquad y=2,3,\ldots.

条件分布：

P(Y=y\mid X=x) =p(1-p)^{y-x-1}, \qquad y>x,

P(X=x\mid Y=y)=\frac1{y-1}, \qquad x=1,\ldots,y-1.

联合密度为 $f(x,y)=3x$ ， $0<y<x<1$ 。求 $Y$ 在给定 $X=x$ 下的条件密度。

查看第 5 题答案

f_X(x)=\int_0^x3x\,dy=3x^2.

所以

\boxed{ f_{Y\mid X}(y\mid x)=\frac1x, \quad0<y<x }.

$(X,Y)$ 在单位正方形上的联合密度为 $f(x,y)=x+y$ 。求 $E(X\mid Y=0.5)$ 。

查看第 12 题答案

f_Y(0.5)=\int_0^1(x+0.5)\,dx=1.

故

E(X\mid Y=0.5) =\int_0^1x(x+0.5)\,dx =\boxed{\frac7{12}}.

证明对可测函数 $h$ ，

E[h(Y)\mid Y]=h(Y).

查看第 14 题答案

$h(Y)$ 已经由 $Y$ 完全确定，因而是 $\sigma(Y)$ 可测的。并且对任意由 $Y$ 决定的事件 $A$ ，

E[h(Y)\mathbf1_A]=E[h(Y)\mathbf1_A].

它满足条件期望的可测性与积分定义，所以 $E[h(Y)\mid Y]=h(Y)$ 。

证明条件期望的抽取性质与下列结论：

E(XY)=E[XE(Y\mid X)],

\operatorname{Cov}(X,E(Y\mid X)) =\operatorname{Cov}(X,Y).

查看第 15 题答案

因为 $X$ 是给定 $X$ 后已知的量，

E(XY\mid X)=XE(Y\mid X).

再取期望并用塔式法则：

E(XY)=E[E(XY\mid X)] =E[XE(Y\mid X)].

又 $E[E(Y\mid X)]=E(Y)$ ，所以

\begin{aligned} \operatorname{Cov}(X,E(Y\mid X)) &=E[XE(Y\mid X)]-E(X)E(Y)\\ &=E(XY)-E(X)E(Y). \end{aligned}

$X,Y$ 独立同分布，均服从 $Exp(\lambda)$ 。令

Z= \begin{cases} 3X+1,&X\ge Y,\\ 6Y,&X<Y. \end{cases}

求 $E(Z)$ 。

查看第 16 题答案

由对称性 $P(X\ge Y)=1/2$ 。又 $\max(X,Y)$ 的期望为 $3/(2\lambda)$ ，故

E[X\mathbf1_{\{X\ge Y\}}] =E[Y\mathbf1_{\{X<Y\}}] =\frac12E[\max(X,Y)] =\frac3{4\lambda}.

因此

E(Z)=3\frac3{4\lambda}+\frac12 +6\frac3{4\lambda} =\boxed{\frac12+\frac{27}{4\lambda}}.

$N$ 是非负整数变量， $X_1,X_2,\ldots$ 独立同分布，并与 $N$ 独立。令

S_N=\sum_{i=1}^NX_i.

证明随机和的方差公式。

查看第 18 题答案

给定 $N$ 后，

E(S_N\mid N)=NE(X_1),

\operatorname{Var}(S_N\mid N)=N\operatorname{Var}(X_1).

由全方差公式，

\begin{aligned} \operatorname{Var}(S_N) ={}&E[\operatorname{Var}(S_N\mid N)]\\ &+\operatorname{Var}[E(S_N\mid N)]\\ ={}&E(N)\operatorname{Var}(X_1) +\operatorname{Var}(N)[E(X_1)]^2. \end{aligned}