第 6 次作业 · 11 月 27 日

我当时提交的文件是 李东骏11_27交.pdf。我按印刷题干转写题目；第 38 题的常数关系按可辨认题面和自己的手写公式共同还原。

第 10 题（比值分布）

$X,Y$ 相互独立，求 $Z=X/Y$ 的密度：

1. $X\sim U(0,1)$，$Y\sim Exp(1)$；
2. $X\sim Exp(\lambda_1)$，$Y\sim Exp(\lambda_2)$。

查看比值分布题答案

比值公式为

$$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty}|y|f_X(zy)f_Y(y)\,dy.$$

第一问中 $z>0$，且 $0<y<1/z$：

$$f_Z(z)=\int_0^{1/z}ye^{-y}\,dy =\boxed{1-\left(1+\frac1z\right)e^{-1/z}}, \quad z>0.$$

第二问中

$$f_Z(z)=\int_0^\infty y\lambda_1e^{-\lambda_1zy} \lambda_2e^{-\lambda_2y}\,dy,$$

故

$$\boxed{ f_Z(z)=\frac{\lambda_1\lambda_2} {(\lambda_2+\lambda_1z)^2},\quad z>0 }.$$

两问在 $z\le0$ 时密度均为 0。

第 15 题（单位圆盘）

$(X,Y)$ 在圆心为原点的单位圆内均匀分布。求极坐标

$$R=\sqrt{X^2+Y^2}, \qquad \Theta=\operatorname{atan2}(Y,X)$$

的联合密度。

查看单位圆盘题答案

原联合密度为 $1/\pi$。极坐标 Jacobian 为 $r$，所以

$$\boxed{ f_{R,\Theta}(r,\theta)=\frac r\pi, \quad0<r<1, 0\le\theta<2\pi }.$$

其他处为 0。

第 17 题

$X,Y$ 独立同分布，均服从 $N(0,1)$。证明

$$U=X^2+Y^2, \qquad V=X/Y$$

相互独立。

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变换有正负两条反解。合并两条分支后，

$$f_{U,V}(u,v)= \frac{e^{-u/2}}{2\pi(1+v^2)}, \qquad u>0, v\in\mathbb R.$$

它可分解为

$$\left(\frac12e^{-u/2}\right) \left(\frac1{\pi(1+v^2)}\right).$$

前者是 $\chi^2(2)$ 密度，后者是标准 Cauchy 密度，因此 $U,V$ 相互独立。

第 21 题

连续随机变量 $X_1,\ldots,X_n$ 独立同分布。证明

$$P\left(X_n>\max\{X_1,\ldots,X_{n-1}\}\right)=\frac1n.$$

查看第 21 题答案

连续分布下几乎必然没有并列最大值。由交换对称性，每个 $X_i$ 成为唯一最大值的概率相同，而这些事件互斥且并的概率为 1，所以每个概率都是 $1/n$。

第 10 题（均方差）

$X,Y$ 独立同分布，均值为 $\mu$、方差为 $\sigma^2$。求 $E[(X-Y)^2]$。

查看均方差题答案

$E(X-Y)=0$，且独立性给出

$$\operatorname{Var}(X-Y)=\sigma^2+\sigma^2=2\sigma^2.$$

所以

$$\boxed{E[(X-Y)^2]=2\sigma^2}.$$

第 15 题（最大值与最小值）

$X_1,\ldots,X_n$ 独立同分布，均服从 $U(0,\theta)$。记

$$Y=\max_iX_i, \qquad Z=\min_iX_i.$$

求 $E(Y)$ 与 $E(Z)$。

查看次序统计量题答案

$$F_Y(y)=\left(\frac y\theta\right)^n, \qquad0<y<\theta,$$

所以 $f_Y(y)=ny^{n-1}/\theta^n$，从而

$$\boxed{E(Y)=\frac{n\theta}{n+1}}.$$

由对称性，$\theta-Z$ 与 $Y$ 同分布，因此

$$\boxed{E(Z)=\frac\theta{n+1}}.$$

第 23 题

一枚公平硬币重复掷 $n$ 次，$X,Y$ 分别为正面和反面次数。求协方差与相关系数。

查看第 23 题答案

$Y=n-X$，且 $\operatorname{Var}(X)=n/4$，所以

$$\operatorname{Cov}(X,Y) =\operatorname{Cov}(X,n-X) =-\frac n4.$$

二者存在严格负线性关系，故

$$\boxed{\rho_{XY}=-1}.$$

第 28 题

联合密度为

$$f(x,y)=3x, \qquad0<y<x<1.$$

求 $X,Y$ 的相关系数。

查看第 28 题答案

积分得到

$$E(X)=\frac34, \quad E(X^2)=\frac35, \quad \operatorname{Var}(X)=\frac3{80},$$ $$E(Y)=\frac38, \quad E(Y^2)=\frac15, \quad \operatorname{Var}(Y)=\frac{19}{320},$$ $$E(XY)=\frac3{10}, \quad \operatorname{Cov}(X,Y)=\frac3{160}.$$

因此

$$\boxed{ \rho_{XY}=\frac3{\sqrt{57}}=\sqrt{\frac3{19}} }.$$

第 32 题

$(X,Y)\sim N(0,0,1,1,\rho)$。

1. 求 $E[\max\{X,Y\}]$；
2. 求 $X-Y$ 与 $XY$ 的协方差及相关系数。

查看第 32 题答案

与 2023–2024 学年期末卷第五题相同：

$$\boxed{E[\max\{X,Y\}]=\sqrt{\frac{1-\rho}{\pi}}},$$ $$\boxed{ \operatorname{Cov}(X-Y,XY)=0, \qquad \operatorname{Corr}(X-Y,XY)=0 }.$$

第 38 题

随机向量 $(X_1,X_2,X_3)$ 满足

$$aX_1+bX_2+cX_3=d,$$

且三个分量期望相同、方差均为 $\sigma^2$。求 $\rho_{12},\rho_{13},\rho_{23}$。

查看第 38 题答案

以下假设 $a,b,c\ne0$。对等式与各 $X_i$ 分别取协方差。例如与 $X_1$ 取协方差得

$$a\sigma^2+b\rho_{12}\sigma^2+c\rho_{13}\sigma^2=0.$$

联立三式可得

$$\boxed{ \rho_{12}=\frac{c^2-a^2-b^2}{2ab} },$$ $$\boxed{ \rho_{13}=\frac{b^2-a^2-c^2}{2ac} },$$ $$\boxed{ \rho_{23}=\frac{a^2-b^2-c^2}{2bc} }.$$

常数关系本身还要求这些相关系数构成可行的相关矩阵；若公共期望非零，取期望还会给出相应的 $d$ 约束。