第 5 次作业 · 11 月 20 日 | L.D.J 的私家工坊

我当时提交的文件是 李东骏11_20交.pdf。我按提交稿中的印刷题干转写题目，并按自己的手写作答核对答案。

第 2 题（联合分布函数）

二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布函数为

F(x,y)=1-e^{-\lambda_1x}-e^{-\lambda_2y} +e^{-\lambda_1x-\lambda_2y-\lambda_{12}\max\{x,y\}},

其中 $x>0,y>0$ ；其他情形 $F(x,y)=0$ 。求 $X,Y$ 的边际分布。

查看第 2 题答案

令 $y\to\infty$ ：

F_X(x)= \begin{cases} 1-e^{-\lambda_1x},&x>0,\\ 0,&x\le0. \end{cases}

同理

F_Y(y)= \begin{cases} 1-e^{-\lambda_2y},&y>0,\\ 0,&y\le0. \end{cases}

故 $X\sim Exp(\lambda_1)$ 、 $Y\sim Exp(\lambda_2)$ 。

第 11 题

$X\sim U(0,1)$ 、 $Y\sim Exp(1)$ ，且相互独立。求

P(Y\le X), \qquad P(X+Y\le1).

查看第 11 题答案

联合密度为 $e^{-y}$ ， $0<x<1,y>0$ 。因此

P(Y\le X)=\int_0^1\int_0^x e^{-y}\,dy\,dx =\boxed{e^{-1}},

P(X+Y\le1)=\int_0^1\int_0^{1-x}e^{-y}\,dy\,dx =\boxed{e^{-1}}.

第 13 题

联合密度为

f(x,y)=1, \qquad |x|<y, 0<y<1,

其他处为 0。求边际密度，并判断 $X,Y$ 是否独立。

查看第 13 题答案

固定 $x$ 后 $|x|<y<1$ ，故

f_X(x)= \begin{cases} 1+x,&-1<x<0,\\ 1-x,&0\le x<1,\\ 0,&\text{其他}. \end{cases}

固定 $y$ 后 $-y<x<y$ ，故

f_Y(y)= \begin{cases} 2y,&0<y<1,\\ 0,&\text{其他}. \end{cases}

支持域 $|x|<y$ 不是边际支持集的直积，故 $X,Y$ 不独立。

第 17 题

$X_1,\ldots,X_n$ 独立同分布且均为正随机变量。证明对 $1\le k\le n$ ，

E\left( \frac{X_1+\cdots+X_k}{X_1+\cdots+X_n} \right)=\frac kn.

查看第 17 题答案

令 $S_n=\sum_{i=1}^nX_i$ 。由交换对称性，所有 $E(X_i/S_n)$ 相同；又

\sum_{i=1}^n\frac{X_i}{S_n}=1.

取期望得每一项为 $1/n$ ，所以前 $k$ 项之和的期望为 $k/n$ 。

第 2 题（指示变量）

$X\sim Exp(\lambda)$ 、 $Y\sim Exp(\mu)$ ，且独立。令

Z= \begin{cases} 1,&X\le Y,\\ 0,&X>Y. \end{cases}

求 $Z$ 的分布。

查看指示变量题答案

P(Z=1)=P(X\le Y)=\frac{\lambda}{\lambda+\mu},

P(Z=0)=\frac{\mu}{\lambda+\mu}.

第 3 题

$X$ 的分布为

$x$	$-1$	$0$	$1$
$P$	$1/4$	$1/2$	$1/4$

$Y$ 取 $0,1$ 的概率各为 $1/2$ ，且已知 $P(XY=0)=1$ 。求 $Z=\max(X,Y)$ 的分布。

查看第 3 题答案

$XY=0$ 几乎必然，故当 $X=\pm1$ 时必有 $Y=0$ 。这正好用完 $P(Y=0)=1/2$ ；于是当 $X=0$ 时必有 $Y=1$ 。

因此

P(Z=0)=P(X=-1,Y=0)=\frac14,

P(Z=1)=\frac34.

第 7 题

联合密度为

f(x,y)=3x, \qquad 0<y<x<1,

其他处为 0。求 $Z=X-Y$ 的密度。

查看第 7 题答案

令 $z=x-y$ 。对 $0<z<1$ ，由 $y=x-z>0$ 得 $z<x<1$ ，所以

f_Z(z)=\int_z^1 3x\,dx =\boxed{\frac32(1-z^2)}, \qquad0<z<1.

其他处密度为 0。

第 5 次作业 · 11 月 20 日