第 4 次作业 · 11 月 6 日

我当时提交的文件是 李东骏11_6交.pdf。我按提交稿中的印刷题干转写题目，并按自己的手写作答核对答案。

第 2 题

随机变量 $X$ 的密度为

$$f_X(x)=\frac{2}{\pi(e^x+e^{-x})}, \qquad -\infty<x<\infty.$$

令

$$Y= \begin{cases} -1,&X<0,\\ 1,&X\ge0. \end{cases}$$

求 $Y$ 的分布。

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$f_X(-x)=f_X(x)$，密度关于原点对称，所以

$$P(Y=-1)=P(X<0)=\frac12,$$ $$P(Y=1)=P(X\ge0)=\frac12.$$

第 6 题

圆的直径 $X\sim U(0,1)$，令圆面积

$$Y=\frac{\pi X^2}{4}.$$

求 $Y$ 的密度。

查看第 6 题答案

$0<Y<\pi/4$，反变换为

$$x=2\sqrt{\frac y\pi}, \qquad \frac{dx}{dy}=\frac1{\sqrt{\pi y}}.$$

所以

$$\boxed{ f_Y(y)= \begin{cases} \dfrac1{\sqrt{\pi y}},&0<y<\pi/4,\\ 0,&\text{其他}. \end{cases}}$$

第 13 题

若 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，令 $Y=e^X$。求 $E(Y)$ 与 $\operatorname{Var}(Y)$。

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正态变量满足

$$E(e^{tX})=\exp\left(\mu t+\frac{\sigma^2t^2}{2}\right).$$

取 $t=1,2$，

$$E(Y)=\boxed{e^{\mu+\sigma^2/2}},$$ $$E(Y^2)=e^{2\mu+2\sigma^2}.$$

因此

$$\boxed{ \operatorname{Var}(Y) =e^{2\mu+\sigma^2}(e^{\sigma^2}-1) }.$$

第 16 题

若 $X\sim Exp(2)$，证明 $e^{-2X}$ 与 $1-e^{-2X}$ 都服从 $U(0,1)$。

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$X$ 的 CDF 为 $F_X(x)=1-e^{-2x}$。由概率积分变换，

$$1-e^{-2X}=F_X(X)\sim U(0,1).$$

若 $U\sim U(0,1)$，则 $1-U\sim U(0,1)$，所以

$$e^{-2X}=1-F_X(X)\sim U(0,1).$$