第 3 次作业 · 10 月 23 日

我当时提交的文件是 李东骏10_23交.pdf。我按印刷题干转写题目，并按自己的提交稿核对答案、补全必要步骤。

第 1 题

已知随机变量 $X$ 满足 $E(X)=\operatorname{Var}(X)=\lambda$，且

$$E[(X-1)(X-2)]=1.$$

求 $\lambda$。

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$$E(X^2)=\operatorname{Var}(X)+[E(X)]^2 =\lambda+\lambda^2.$$

代入题设：

$$\lambda^2+\lambda-3\lambda+2=1,$$

即 $(\lambda-1)^2=0$，故

$$\boxed{\lambda=1}.$$

第 5 题

随机变量 $X$ 的分布函数为

$$F(x)= \begin{cases} \dfrac12e^x,&x<0,\\ \dfrac12,&0\le x<1,\\ 1-\dfrac12e^{-(x-1)/2},&x\ge1. \end{cases}$$

求 $E(X)$ 与 $\operatorname{Var}(X)$。

查看第 5 题答案

密度为

$$f(x)= \begin{cases} \dfrac12e^x,&x<0,\\ 0,&0<x<1,\\ \dfrac14e^{-(x-1)/2},&x>1. \end{cases}$$

分段积分得到

$$E(X)=1, \qquad E(X^2)=\frac{15}{2}.$$

因此

$$\boxed{\operatorname{Var}(X)=\frac{15}{2}-1=\frac{13}{2}}.$$

第 9 题

证明：对任意 $c\ne E(X)$，

$$\operatorname{Var}(X)<E[(X-c)^2].$$

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$$E[(X-c)^2] =\operatorname{Var}(X)+[E(X)-c]^2.$$

因 $c\ne E(X)$，第二项严格大于 0，结论成立。

第 11 题

若随机变量 $X$ 只在 $[x_1,x_n]$ 内取值，证明

$$\operatorname{Var}(X) \le\left(\frac{x_n-x_1}{2}\right)^2.$$

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令中点 $m=(x_1+x_n)/2$。由均值使均方误差最小，

$$\operatorname{Var}(X)\le E[(X-m)^2].$$

又因 $|X-m|\le(x_n-x_1)/2$，故

$$E[(X-m)^2]\le\left(\frac{x_n-x_1}{2}\right)^2.$$

第 12 题

设 $g$ 在 $X$ 的取值范围上非负、单调不减，且 $E[g(X)]$ 存在。证明对 $g(\varepsilon)>0$，

$$P(X>\varepsilon)\le\frac{E[g(X)]}{g(\varepsilon)}.$$

查看第 12 题答案

在事件 $\{X>\varepsilon\}$ 上，$g(X)\ge g(\varepsilon)$，所以

$$g(X)\ge g(\varepsilon) \mathbf1_{\{X>\varepsilon\}}.$$

两边取期望即得结论。

第 4 题

餐厅有 50 个座位，接受了 52 个预订。每位顾客独立地以概率 $0.2$ 不到场。求出现有顾客无座位的概率。

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到场人数 $X\sim B(52,0.8)$。无座位即 $X\ge51$：

$$\begin{aligned} P(X\ge51) &=\binom{52}{51}0.8^{51}0.2+0.8^{52}\\ &=11.2\times0.8^{51} \approx\boxed{0.0001279}. \end{aligned}$$

第 7 题

产品不合格率为 $0.02$，抽查 40 件。若发现至少 2 件不合格就拒收。

1. 求精确拒收概率；
2. 用 Poisson 分布近似。

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若 $X\sim B(40,0.02)$，

$$P(X\ge2)=1-0.98^{40}-40(0.02)0.98^{39} \approx\boxed{0.1905}.$$

Poisson 近似参数 $\lambda=np=0.8$，所以

$$P(X\ge2)\approx1-e^{-0.8}(1+0.8) \approx\boxed{0.1912}.$$

第 9 题（Poisson 稀疏化）

顾客数 $X\sim P(\lambda)$，每位顾客独立地以概率 $p$ 购买商品。证明购买人数 $Y\sim P(\lambda p)$。

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给定 $X=n$ 时，$Y\mid X=n\sim B(n,p)$。于是

$$\begin{aligned} P(Y=k) &=\sum_{n=k}^{\infty} \binom nkp^k(1-p)^{n-k} e^{-\lambda}\frac{\lambda^n}{n!}\\ &=e^{-\lambda p}\frac{(\lambda p)^k}{k!}. \end{aligned}$$

故 $Y\sim P(\lambda p)$。

第 15 题

产品不合格率为 $0.1$。每次抽查 10 件，若不合格品多于 1 件就调整生产；每天抽查 4 次。求每天调整次数的期望。

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一次触发调整的概率为

$$q=1-0.9^{10}-10(0.1)0.9^9 \approx0.2639.$$

四次抽查的调整次数期望为

$$\boxed{4q\approx1.0556}.$$

第 19 题

设 $X$ 服从参数为 $p$ 的几何分布，支持集为 $1,2,\ldots$。求 $E(1/X)$。

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令 $q=1-p$，

$$E\left(\frac1X\right) =\sum_{k=1}^{\infty}\frac1k p q^{k-1} =\frac pq\sum_{k=1}^{\infty}\frac{q^k}{k}.$$

利用 $\sum_{k\ge1}q^k/k=-\ln(1-q)=-\ln p$，

$$\boxed{ E\left(\frac1X\right) =-\frac{p\ln p}{1-p} }.$$