第 2 次作业 · 10 月 16 日 | L.D.J 的私家工坊

我当时提交的文件是 李东骏10_16交.pdf。我按提交稿中的印刷题干转写题目；第 19、21 题的公式按可辨认题面和自己的作答共同核对。

第 4 题

三个盒子分别装有“1 白 4 黑”“2 白 3 黑”“3 白 2 黑”。任取一盒，再从中不放回取 3 球，以 $X$ 表示白球数。

求 $X$ 的分布列；
求 $P(X\ge2)$ 。

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对三个盒子的超几何概率取等权平均，得到

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(X=x)$	$1/6$	$1/2$	$3/10$	$1/30$

因此

P(X\ge2)=\frac3{10}+\frac1{30}=\boxed{\frac13}.

第 9 题（分布函数）

设随机变量 $X$ 的分布函数为

F(x)= \begin{cases} 0,&x<1,\\ \ln x,&1\le x<e,\\ 1,&x\ge e. \end{cases}

求 $P(X<2)$ 、 $P(0<X\le3)$ 、 $P(2<X<2.5)$ 。

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该分布在相关点连续，所以

P(X<2)=F(2)=\boxed{\ln2},

P(0<X\le3)=F(3)-F(0)=\boxed{1},

P(2<X<2.5)=F(2.5)-F(2) =\boxed{\ln\frac54}.

第 14 题

设

f_X(x)= \begin{cases} A\cos x,&|x|\le\pi/2,\\ 0,&\text{其他}. \end{cases}

求 $A$ ；
求 $P(0<X<\pi/4)$ 。

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归一化给出

1=A\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos x\,dx=2A,

故 $A=1/2$ 。于是

P(0<X<\pi/4) =\frac12\int_0^{\pi/4}\cos x\,dx =\boxed{\frac{\sqrt2}{4}}.

第 17 题（储油量）

某加油站每周补油一次。每周销售量 $X$ （千升）的密度为

f_X(x)= \begin{cases} 0.05(1-x/100)^4,&0<x<100,\\ 0,&\text{其他}. \end{cases}

储油罐至少多大，才能把一周断油概率控制在 $5\%$ 以下？

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设容量为 $A$ 千升，要求 $P(X>A)\le0.05$ 。尾概率为

P(X>A)=\left(1-\frac A{100}\right)^5.

因此

A\ge100\left(1-0.05^{1/5}\right) \approx\boxed{45.071\text{ 千升}}.

第 1 题

离散变量 $X$ 的分布列为

$x$	$-2$	$0$	$2$
$P(X=x)$	$0.4$	$0.3$	$0.3$

求 $E(X)$ 与 $E(3X+5)$ 。

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E(X)=-2\times0.4+2\times0.3=\boxed{-0.2}.

由期望线性性，

E(3X+5)=3E(X)+5=\boxed{4.4}.

第 7 题

检查一批产品：若前 $a$ 件全为合格品，就判定该批合格；若在此前发现一件不合格品，则立即停止。每件不合格概率均为 $p$ 。平均每批检查多少件？

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设检查件数为 $N$ 。第 $k$ 件会被检查，当且仅当前 $k-1$ 件合格，概率为 $(1-p)^{k-1}$ 。由尾和公式

E(N)=\sum_{k=1}^aP(N\ge k) =\sum_{k=1}^a(1-p)^{k-1}.

所以

\boxed{E(N)=\frac{1-(1-p)^a}{p}}.

第 9 题（股票）

某人有 10000 元，股票现价 2 元/股；一年后股价以相同概率为 1 元/股或 4 元/股。顾问建议：若要使一年后股票市值的期望最大，现在买；若要使一年后持股数量的期望最大，一年后买。判断建议是否正确。

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现在买可得 5000 股，一年后市值期望为

\frac12(5000\times1)+\frac12(5000\times4) =12500>10000.

若一年后再买，持股数为 10000 或 2500，期望

\frac12(10000)+\frac12(2500)=6250>5000.

所以顾问的两条建议均正确。

第 13 题

设 $X\sim Exp(1)$ ，即密度为 $e^{-x}$ （ $x>0$ ）。求 $E(2X+5)$ 。

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$E(X)=1$ ，故

E(2X+5)=2E(X)+5=\boxed{7}.

第 16 题

工程完成时间 $X$ （月）的分布为

$x$	$10$	$11$	$12$	$13$
$P$	$0.4$	$0.3$	$0.2$	$0.1$

求平均工期；
利润 $Y=50(13-X)$ 万元，求平均利润；
调整后 $X_1$ 取 $10,11,12$ 的概率为 $0.5,0.4,0.1$ ，平均利润增加多少？

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E(X)=10(0.4)+11(0.3)+12(0.2)+13(0.1) =\boxed{11\text{ 月}}.

E(Y)=50[13-E(X)]=\boxed{100\text{ 万元}}.

调整后

E(X_1)=10(0.5)+11(0.4)+12(0.1)=10.6,

平均利润增加

50[E(X)-E(X_1)]=\boxed{20\text{ 万元}}.

第 17 题（重复观察）

设

f_X(x)= \begin{cases} \dfrac12\cos(x/2),&0\le x\le\pi,\\ 0,&\text{其他}. \end{cases}

对 $X$ 独立观察 4 次， $Y$ 表示观察值大于 $\pi/3$ 的次数，求 $E(Y^2)$ 。

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一次超过 $\pi/3$ 的概率为

p=1-\int_0^{\pi/3}\frac12\cos(x/2)\,dx =\frac12.

因此 $Y\sim B(4,1/2)$ ，

E(Y^2)=\operatorname{Var}(Y)+[E(Y)]^2 =1+4=\boxed{5}.

第 19 题

设 $X$ 是只取非负整数的随机变量，且相应期望存在。证明：

E(X)=\sum_{k=1}^{\infty}P(X\ge k),

以及

\sum_{k=0}^{\infty}kP(X>k) =\frac12[E(X^2)-E(X)].

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逐点恒等式

X=\sum_{k=1}^{\infty}\mathbf1_{\{X\ge k\}}

取期望即得第一式。

对整数 $X=j$ ，

\sum_{k=0}^{\infty}k\mathbf1_{\{X>k\}} =\sum_{k=0}^{j-1}k=\frac{j(j-1)}2.

两边取期望，得到

\sum_{k=0}^{\infty}kP(X>k) =E\left[\frac{X(X-1)}2\right] =\frac12[E(X^2)-E(X)].

第 21 题

设 $X$ 为非负连续随机变量。若 $E(X^n)$ 存在，证明：

E(X)=\int_0^\infty P(X>x)\,dx,

E(X^n)=\int_0^\infty nx^{n-1}P(X>x)\,dx.

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利用逐点恒等式

X^n=\int_0^Xnx^{n-1}\,dx =\int_0^\infty nx^{n-1}\mathbf1_{\{X>x\}}\,dx.

由非负函数的换序积分，

E(X^n)=\int_0^\infty nx^{n-1}P(X>x)\,dx.

令 $n=1$ 即得第一式。

第 2 次作业 · 10 月 16 日