第 1 次作业 · 9 月 25 日 | L.D.J 的私家工坊

我当时提交的文件是 李东骏9_25交.pdf。我按提交稿中的印刷题干转写题目，并依据自己的手写作答核对答案、补足必要推导。

第 9 题

设事件 $A,B,C$ 两两独立，且 $ABC=\varnothing$ 。

若 $P(A)=P(B)=P(C)$ ，求这个公共概率的最大值；
若 $P(A)=P(B)=P(C)<1/2$ ，且 $P(A\cup B\cup C)=9/16$ ，求这个公共概率。

查看第 9 题答案

记公共概率为 $x$ 。因两两独立， $P(AB)=P(AC)=x^2$ 。又因 $ABC=\varnothing$ ， $AB$ 与 $AC$ 互不相容，且都包含在 $A$ 中，所以

2x^2=P(AB\cup AC)\le P(A)=x.

故 $x\le1/2$ ；边界可以达到，最大值为

\boxed{\frac12}.

第二问由容斥公式

\frac9{16}=3x-3x^2,

解得 $x=1/4$ 或 $3/4$ 。结合 $x<1/2$ ，

\boxed{x=\frac14}.

第 13 题

一枚均匀骰子独立投掷 $n$ 次。至少需要投掷多少次，才能使至少出现一次 6 点的概率大于 $1/2$ ？

查看第 13 题答案

1-\left(\frac56\right)^n>\frac12

等价于

n>\frac{\ln(1/2)}{\ln(5/6)}\approx3.80.

最小整数为

\boxed{n=4}.

第 17 题

人群中 AB 血型所占比例为 $0.02$ 。

随机抽取 20 人，至少有一人是 AB 血型的概率是多少？
至少随机抽取多少人，才能使至少有一人是 AB 血型的概率不小于 $0.95$ ？

查看第 17 题答案

第一问为

1-0.98^{20}\approx\boxed{0.3324}.

第二问要求

1-0.98^n\ge0.95,

所以

n\ge\frac{\ln0.05}{\ln0.98}\approx148.28.

至少抽取

\boxed{149\text{ 人}}.

第 21 题

两人进行每局胜率相同且各局独立的比赛，先达到约定胜局数者获胜。比赛中断后，应按各自最终获胜概率分配赌金。

若甲、乙都还差 $k$ 局获胜，如何分配？
若甲还差 2 局、乙还差 3 局，如何分配？
若甲还差 $n$ 局、乙还差 $m$ 局，写出一般分配比例。

查看第 21 题答案

第一问由对称性，各分一半。

第二问最多再赛 4 局。甲最终获胜等价于这 4 局中甲至少胜 2 局：

P(\text{甲胜}) =1-\frac{\binom40+\binom41}{2^4} =\frac{11}{16}.

故甲、乙按

\boxed{11:5}

分配。

一般地，设想补赛固定的 $n+m-1$ 局。甲只要其中至少赢 $n$ 局就一定先达标，所以

P(\text{甲胜})= \frac1{2^{n+m-1}} \sum_{j=n}^{n+m-1}\binom{n+m-1}{j}.

乙的概率为其补数，赌金按这两个概率分配。

第 24 题

设 $P(B)>0$ 、 $P(\bar B)>0$ ，且

P(A\mid B)+P(\bar A\mid\bar B)=1.

证明 $A$ 与 $B$ 独立。

查看第 24 题答案

由

P(\bar A\mid\bar B)=1-P(A\mid\bar B),

题设等价于

P(A\mid B)=P(A\mid\bar B)=q.

由全概率公式

P(A)=qP(B)+qP(\bar B)=q.

因此 $P(A\mid B)=P(A)$ ，所以 $A,B$ 独立。

第 25 题

设 $P(A)>0$ 、 $P(B)>0$ ，且 $A,B$ 独立。证明 $A,B$ 相容。

查看第 25 题答案

由独立性，

P(AB)=P(A)P(B)>0.

所以 $AB\ne\varnothing$ ，即 $A,B$ 可以同时发生，二者相容。

第 1 次作业 · 9 月 25 日